... επειδή τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο ασκήσεις...

Διδακτική Μαθηματικών

• Κολοκοτρώνη Ναταλία - Εγχειρίδιο Διδακτικής Μαθηματικών
• Μόσχος Αλέξανδρος - Θέματα Εφαρμοσμένης Διδακτικής των Μαθηματικών
• Μπουνάκης Δημήτρης - Διδακτικό Υλικό: Πως να το λύσω
• Μπουνάκης Δημήτρης - Οι Ερωτήσεις στην Διδασκαλία των Μαθηματικών
• Μπουνάκης Δημήτρης - Σχέδια Διδασκαλίας Γυμνασίου 2010-11
• Μπουνάκης Δημήτρης - Σχέδια Διδασκαλίας Λυκείου 2010-11
• Ντρίζος Δημήτρης - Διδακτική Αξιοποίηση Προβλημάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G. Polya, Μια διδακτική Πρόταση (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' #73 2010)
• Ωραιόπουλος Γ.K. - Σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης (1ο Συνέδριο ΕΜΕ, 1984)

Διαμάντια

• Κώστας Δόρτσιος - Εικονική παρουσίαση Μαθηματικών Κατεύθυνσης 2014
• Κώστας Δόρτσιος - Η μέτρηση της περιμέτρου της Γης από τον Ερατοσθένη
• Κώστας Δόρτσιος - Χάραξη της γραμμής Βορράς – Νότος ενός τόπου Α, Γνώμονας 1
• Κώστας Δόρτσιος - Χάραξη της γραμμής Βορράς – Νότος ενός τόπου Α, Γνώμονας 2

Οδοιπορικά

• Λυγάτσικας Ζήνων - Τετράδια Μαθηματικών Α΄ Λυκείου 2010-2011 (Εργασίες στο Βαρβάκειο Λύκειο)

Μαθηματικά με Φυσική

• Ιωσηφίδης Νίκος - Χρήση του κέντρου μάζας στην απόδειξη γεωμετρικών προτάσεων (6η Μαθηματική Εβδομάδα, ενημέρωση 29-3-2014)
• Μουρούζης Πάνος - Νεύτωνας - Κέπλερ 1-1 (διαιτητής του αγώνα ο Ευκλείδης)
• Στεργιάδης Ξενοφώντας -  ''Φυσικές μεθόδοι'' επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων

Χρήσιμα για όλες τις τάξεις Λυκείου

Μαθηματικά

• Κυριακόπουλος Αντώνης - Περί εξισώσεων (4η μαθηματική Εβδομάδα 2012)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Περί ανισώσεων (Συνέδριο ΕΜΕ 2012)

Ποσοδείκτες \ Συνεπαγωγές \ Λογική

• Ιωσηφίδης Νίκος - Η σωστή χρήση των συμβόλων (20-2-2011)
• Ιωσηφίδης Νίκος - Σημεία διαφωνιών (6-3-2011)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Ποσοδεικτικές προτάσεις και θέματα του τύπου Σωστό Λάθος (Συνέδριο ΕΜΕ 2010)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα μαθηματικά - Επισήμανση λαθών που μπορούν να γίνουν (νέα έκδοση του αρχείου από το Συνέδριο ΕΜΕ 2005)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Απόδειξη συνεπαγωγής, η ισοδυναμία (Συνέδριο ΕΜΕ 2009)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Μια απλή αλλά πολύ χρήσιμη πρόταση (σχετικά με συνεπαγωγές) (14 Μαΐου 2009)
• Σκοτίδας Σωτήρης - Μέθοδοι Απόδειξης στα Μαθηματικά

Μέθοδοι

• Ιωσηφίδης Νίκος - Σωστή χρήση των δεδομένων (ενημ.  18-3-15)

Συχνά Λάθη

• Συγκελάκης Αλέξανδρος - Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά Λυκείου (6η Μαθηματική Εβδομάδα)

Άλγεβρα Α' Λυκείου

• Απόδειξη οτι ο αριθμός e είναι άρρητος
• Απόδειξη οτι ο αριθμός π είναι άρρητος
• Απόδειξη της πυκνότητας των ρητών και των αρρήτων
• Ελευθερίου Πρόδρομος - Άρρητες Εξισώσεις και Ανισώσεις
• Καλυκάκης Δημήτριος -  Γεωμετρική Πιθανότητα (Συνέδριο ΕΜΕ)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Πραγματικές Συναρτήσεις - Χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες (με απαντήσεις - υποδείξεις από τον Κώστα Σερίφη) (Νοέμβριος 2009)
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Σειρές και αλγεβρικά αθροίσματα, περί της σχέσης 0,9999..=1 (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' #78)
• Λάμπρου Μιχάλης - 12 αποδείξεις οτι το ρίζα 2 είναι άρρητος
• Λάμπρου Μιχάλης, Σπανουδάκης Νίκος - Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών αριθμών
• Ντρίζος Δημήτρης - Η γεωμετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού: Μια πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές στην Α΄ Λυκείου (όπως δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ' #53-54 2000)
• Πέρρος Γιώργος - Μέθοδος Υπολογισμού Τετραγωνικής Ρίζας

Άλγεβρα Β' Λυκείου

• Αναγνώστου Δημήτρης - Κυβική Πολυωνυµική Εξίσωση
• Κυριακόπουλος Αντώνης - Σχετικά με τις περιοδικές συναρτήσεις (Φυλλάδιο, Αθήνα 1986)
• Μπουνάκης Δημήτρης - Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση (εργασία σε μεταπτυχιακό μάθημα, Ιούνιος 2009)
• Τσακατούρας Χρήστος  - Τριγωνομετρικές Ανισώσεις (λυμένες)
• Φωτιάδης Νίκος - Επίλυση εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού

Γεωμετρία Α' Λυκείου

• Θεοδωρόπουλος Λ. Παναγιώτης - Ασκήσεις Απόδειξης στην Γεωμετρία
• Μπουνάκης Δημήτρης -  Ίσα τρίγωνα όχι, ψευδοΐσα τρίγωνα (τρίγωνα με 5 στοιχεία ίσα) (περιοδικό ''Φ'' # 5 2008)
• Μπουνάκης Δημήτρης -  Σχέση Θεωρημάτων Θαλή και Πυθαγόρα  (μέρος του άρθρου  δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β' #1 2006-7)
• Φωτιάδης Νίκος - Η Γεωμετρία του Διαβήτη (μια βελτίωση της απόδειξης) (30ο Συνέδριο ΕΜΕ)
• Φωτιάδης Νίκος - Γεωμετρική Επίλυση εξισώσεων β βαθμού

(για επιπλέον άρθρα Γεωμετρίας σχολικού και μη, επιπέδου δείτε εδώ)


Γεωμετρία Β' Λυκείου

• Σκόκος Αντώνης - Η απόδειξη μιας πρότασης, η αναλυτική μέθοδος, παραδείγματα
• Σκοτίδας Σωτήρης - Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη

(για επιπλέον άρθρα  Γεωμετρίας σχολικού και μη, επιπέδου δείτε εδώ)


Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β' Λυκείου

• Ιωσηφίδης Νίκος - Εφαρμογές του Διανυσματικού Λογισμού σε Γεωμετρικά Προβλήματα (2η Μαθηματική Εβδομάδα)
• Ιωσηφίδης Νίκος - Στροφή Διανύσματος  (5η Μαθηματική Εβδομάδα, ενημέρωση 31-3-2013)
• Ιωσηφίδης Νίκος - Χρήση του κέντρου μάζας στην απόδειξη γεωμετρικών προτάσεων (6η Μαθηματική Εβδομάδα, ενημέρωση 29-3-2014)
• Ιωσηφίδης Φίλιππος - Η επαγωγική μέθοδος του Cauchy (4η Μαθηματική Εβδομάδα 2012, ενημέρωση 8-5-2015)
• Κοντοκώστας Δημήτρης - Κωνικές Τομές (2η εκδοχή, Φεβ. 2014, ΣΕΜΦΕ)
• Λάμπρου Μιχάλης - Μαθηματική Επαγωγή  (για το πρόγραμμα MATHEU)
• Λάμπρου Μιχάλης, Τζανάκης Νίκος Γ. - Μαθηματική Επαγωγή (15 Φεβρουαρίου 2006)
• Μπραζιτίκος Σιλουανός - Από τον κύκλο στην έλλειψη (14 Μαρτίου 2015, Τρίκαλα)
• Συγκελάκης Αλέξανδρος - Τύποι παραγωγής πρώτων αριθμών

(για επιπλέον υλικό σχετικά με κωνικές τομές με ευκλείδεια μέσα δείτε εδώ)

Μαθηματικά Γενικής Γ' Λυκείου

• Καλυκάκης Δημήτριος -  Γεωμετρική Πιθανότητα (Συνέδριο της ΕΜΕ)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

Μιγαδικοί 
Θαρραλίδης Λεωνίδας -  Ακρότατα και φράγματα στα μέτρα μιγαδικών version1 (1η μορφή του άρθρου, διδακτική, βρείτε το λάθος)
Θαρραλίδης Λεωνίδας -  Ακρότατα και φράγματα στα μέτρα μιγαδικών version2 (2η μορφή του άρθρου, επεξηγηματική όπως δημοσιεύτηκε στα περιοδικά ''Φ'' # 4 τον Νοέμβριο του 2007 και ''Απολλώνιος'' # 5 τον Οκτώβριο του 2007)
Μπουνάκης Δημήτρης - Διδακτικό Υλικό: Μιγαδικοί Αριθμοί 2010-2011
Στεργίου Μπάμπης -  Άρθρο στους μιγαδικούς αριθμούς - Η τριγωνική ανισότητα και η χρήση της στην εύρεση ακρότατων (Ιούνιος 2008)

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Απόδειξη του Θεωρήματος Bolzano
Κυριακόπουλος Αντώνης - Πραγματικές Συναρτήσεις - Χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες (με απαντήσεις υποδείξεις από τον Κώστα Σερίφη) (Νοέμβριος 2009)
Κυριακόπουλος Αντώνης - Νιοστή ρίζα, τα σύμβολα (συνάρτηση με εκθέτη συνάρτηση), σχετικά θέματα  (Φεβρουάριος 2009)
Ντρίζος Δημήτρης - Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται σε κλειστό διάστημα
Μπουνάκης Δημήτρης - Διδακτικό Υλικό: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια 2010-2011
Μπουνάκης Δημήτρης - Η ισοδυναμία των διαστημάτων του R με αφορμή ένα πρόβλημα του "Φ" (περιοδικά ''Φ'' # 6 2009)

Διαφορικός Λογισμός
Ιωσηφίδης Νίκος - Παράγωγοι - Σημεία που χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή (15-03-2009)
Ιωσηφίδης Νίκος - Χρήσιμα θεωρήματα στις παραγώγους (30-11-2014)
Μπόρης Ροδόλφος - Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας (το αργότερο Μάρτιος 2009)
Μπόρης Ροδόλφος - Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας (περιοδικό Εκθέτης #3 , 09 Απριλίου 2010)
Μπουνάκης Δημήτρης - Διδακτικό Υλικό: Διαφορικός Λογισμός 2010-2011 (μέρος Α΄, μέρος Β΄)
Ντρίζος Δημήτρης - Τα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού: τα θεωρήματα του Rolle, της Μέσης Τιμής και του Fermat, οι συνέπειες του θεωρήματος Μέσης Τιμής  (2007)
Ντρίζος Δημήτρης - Πλεονεκτήματα της γεωμετρικής αναπαράστασης των μαθηματικών εννοιών: Η απόδειξη του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού, για συναρτήσεις μιας ή δύο πραγματικών μεταβλητών  (όπως δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ' #77 2012)

Ολοκληρωτικός Λογισμός
Γεωμετρική Απόδειξη του Barrow στο Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Ελευθερίου Πρόδρομος - Συνάρτηση οριζόμενη από ολοκλήρωμα
Ιωσηφίδης Νίκος - Ολοκληρώματα Ι, επισημάνσεις - διευκρινήσεις (ενημ  31-12-15)
Ιωσηφίδης Νίκος - Ολοκληρώματα ΙΙ, ανισότητες, συνάρτηση ολοκλήρωμα (ενημ  31-12-15) 
Κυριακόπουλος  Αντώνης, Τασσόπουλος Γιώργος - Το θεώρημα αντικατάστασης στα ορισμένα ολοκληρώματα και μια αναφορά στις συναρτήσεις της μορφής (ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ # 80)
Κυριακόπουλος  Αντώνης -  Συναρτήσεις που ορίζονται από ολοκληρώματα, σχετικά θέματα (το αργότερο Φεβρουάριος 2009)
Μπουνάκης Δημήτρης - Διδακτικό Υλικό: Ολοκληρώματα 2010-2011
Στεργίου Μπάμπης - Η αρχική συνάρτηση - Αόριστο ολοκλήρωμα (προσωρινή εργασία, Ιανουάριος 2010)
Στεργίου Μπάμπης - Η αρχική συνάρτηση - Αόριστο ολοκλήρωμα (περιοδικό Εκθέτης #10 , 05 Μαρτίου 2011)
Στεργίου Μπάμπης - Προτάσεις και ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση (μέρος του άρθρου, βελτίωση του προηγούμενου άρθρου του Εκθέτη)

Ανάλυση 
Γιαννακόπουλος Σπύρος - Γενικά Θεματα Ανάλυσης (online)
Ιωσηφίδης Νίκος - Ανάλυση Γ΄Λυκείου - Επισημάνσεις και διευκρινήσεις με αφορμή θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων (07-03-2007, 1η Μαθηματική Εβδομάδα)
Ιωσηφίδης Νίκος - Διευκρινίσεις σε θέματα Πανελλαδικών (19-6-2012)
Ιωσηφίδης Νίκος - Μαθηματικά Γ΄Λυκείου - Σημεία που χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή (27-5-2012)
Ιωσηφίδης Νίκος - Μαθηματικά Γ΄Λυκείου - Συνηθισμένα και ασυνήθιστα λάθη (29-4-2012)
Ιωσηφίδης Νίκος - Χρήσιμα θεωρήματα στην Ανάλυση
Ιωσηφίδης Νίκος - Υπαρκτές και ανύπαρκτες  συναρτήσεις (ενημ  6-2-15)
Ντρίζος Δημήτρης - Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στη διδασκαλία θεμάτων της Ανάλυσης (παρουσίαση 06-03-2010)
Παπαδογιαννάκης Απόστολος - Η ανάλυση στο Λύκειο και μερικές προτάσεις για την ενοποίηση και απλοποίηση των αποδείξεων βασικών θεωρημάτων της (διπλωματική, Ηράκλειο 2005)
Πηχωρίδης Στυλιανός Κ. - Απειροστικός Λογισμός, πρόχειρες σημειώσεις (Κρήτη 1986, Αθήνα 1996, Σάμος 2006)
Πλάταρος Γιάννης: Η διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού μέσω αντιπαραδειγμάτων (διπλωματική, Αθήνα 2004)
Στεργίου Μπάμπης - Εύρεση συνάρτησης - Βασικές παρατηρήσεις στην εύρεση συνάρτησης (αρχές δεκαετίας 2000)
Στεργίου Μπάμπης - Εξισώσεις, μέθοδοι -  σχόλια - εφαρμογές (26 Οκτωβρίου 2014)
Στεργίου Μπάμπης - Μερικά συμπεράσματα πάνω στα θεωρήματα μέσης τιμής διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού (Σεπτέμβριος 2009)
Στεργίου Μπάμπης - Μερικά συμπεράσματα πάνω στα θεωρήματα μέσης τιμής διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού  (περιοδικό Εκθέτης #2 , 09 Απριλίου 2010)

Συγκελάκης Αλέξανδρος - Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά Λυκείου (6η Μαθηματική Εβδομάδα)

Ντρίζος Δημήτρης - Δοκίμια διδακτικής με θέματα ανάλυσης
περιεχόμενα:

1. Τα δύο Θεμελιώδη Θεωρήματα του Απειροστικού Λογισμού, μία διδακτική πρόταση (όπως δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ' #67 2007)

2. Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στη διαδικασία επινόησης της απόδειξης μιας μαθηματικής πρότασης, η περίπτωση του θεωρήματος Μέσης του Διαφορικού Λογισμού
3. Οι κυρτές συναρτήσεις, μια πορεία μεταξύ γεωμετρικής και συναρτησιακής θεώρησης (όπως δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ' #65 2006)
4. Διδακτικές προσεγγίσεις του προβλήματος της σύγκρισης των αριθμών π^e και e^π στο πλαίσιο της Ανάλυσης (όπως δημοσιεύτηκε στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γ' #60-61 2003-4)
5. Ολοκλήρωμα συνάρτησης με μια ειδική συμμετρία                                          

πηγές:
2lyk-kardits.kar.sch.gr
blogs.sch.gr/giannakopulos
blogs.sch.gr/na2074ta
blogs.sch.gr/symath
blogs.sch.gr/zenonlig
dide.ker.sch.gr/ekfe (Πάνος Μουρούζης)
mathchan.gr
mathmosxos.blogspot.gr
mfcosmos.com (Δημήτρης Αναγνώστου, Ξενοφώντας Στεργιάδης)
mtzoumas.mysch.gr
sites.google.com/site/mathabyss
srv-dide.tri.sch.gr/sxsymboyloi/?page_id=6 
users.sch.gr/nfotiades
users.sch.gr/tsak
www.antoniskokos.gr
www.math.ntua.gr/~dkodokostas
www.mathher.gr/s/mpounakis
www.mathematica.gr
www.nsmavrogiannis.gr/ekthetis.htm
www.p-theodoropoulos.gr
ηλεκτρονική αναζήτηση σε βιβλιοθήκες (για διπλωματικές εργασίες)

Ποια επαγγέλματα θα έχουν την μεγάλυτερη ζήτηση μέχρι το 2020

Ποια επαγγέλματα θα έχουν την μεγάλυτερη ζήτηση μέχρι το 2020

Η αγορά εργασίας αλλάζει ταχύτερα από ό, τι μπορούμε να συνειδητοποιήσουμε. Οι δημογραφικές αλλαγές και η τεχνολογική πρόοδος μπορούν να οδηγήσουν σε καθαρή απώλεια 5 εκατομμυρίων θέσεων εργασίας μέχρι το 2020, σύμφωνα με έκθεση που δημοσιεύθηκε τη Δευτέρα από το Παγκόσμιο Οικονομικό Φόρουμ. Συνολικά, η έκθεση εκτιμά ότι 7,1 εκατομμύρια θέσεις εργασίας θα μπορούσαν να χαθούν, η πλειοψηφία των οποίων θα είναι θέσεις γραφείου και διοικητικές θέσεις.

Η έκθεση, που ονομάζεται «Το μέλλον των θέσεων εργασίας», ρώτησε 350 στελέχη από εταιρείες σε 9 βιομηχανίες σε 15 από τις μεγαλύτερες οικονομίες του κόσμου για να καταλήξει με τις προβλέψεις σχετικά με το πώς θα εξελιχθούν οι αγορές εργασίας.

Ενώ το τοπίο εργασίας αναμένεται να υποστεί ριζικές αλλαγές κατά τα επόμενα χρόνια, η έκθεση προβλέπει ότι θα υπάρξουν επίσης ορισμένα επαγγέλματα που θα έχουν τη μεγαλύτερη ζήτηση.

Ρίξτε μια ματιά σε μερικές από τις κατηγορίες εργασίας που αναμένεται να σημειωθεί αύξηση.

Οι αναλυτές δεδομένων θα είναι σε ζήτηση.

Οι θέσεις εργασίας για υπολογιστές και μαθηματικά στο σύνολό τους, θα συνεχίσουν επίσης να έχουν ζήτηση.

Οι αρχιτέκτονες και οι μηχανικοί θα παραμείνουν σε σταθερή πορεία.

Οι εξειδικευμένοι άνθρωποι των πωλήσεων θα είναι επίσης αναγκαίοι.

Τα ανώτερα στελέχη θα χρειαστούν σε βιομηχανίες σε όλους τους τομείς για να «ηγούνται» των εταιρειών σε περιόδους μετασχηματισμών.

Οι σχεδιαστές προϊόντων έχουν πάντα ζήτηση.

Θα χρειαστούν επίσης άτομα για το Human resources και οι ειδικοί στην οργανωτική ανάπτυξη.

Πηγή:newmoney.gr

Ελευθέρωσε το μυαλό σου και σκέψου!!

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΑΓΑΠΗ

7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο

7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο

Καμία από τις καθημερινές μας συνήθειες δεν θα ήταν εφικτή χωρίς τις επτά εξισώσεις

Το ξυπνητήρι χτυπάει. Κοιτάζετε το ρολόι. Η ώρα είναι 6.30 το πρωί. Δεν έχετε καλά-καλά σηκωθεί από το κρεβάτι και ήδη τουλάχιστον έξι μαθηματικές εξισώσεις έχουν μπει στη ζωή σας. Το τσιπάκι της μνήμης που αποθηκεύει την ώρα στο ρολόι σας δεν θα μπορούσε να φτιαχτεί χωρίς μια βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής. Η ώρα του έχει οριστεί από ένα ραδιοηλεκτρικό σήμα το οποίο δεν θα είχαμε επινοήσει ούτε στα όνειρά μας χωρίς τις τέσσερις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ. Αυτό δε το σήμα μεταδίδεται με βάση τον τύπο που είναι γνωστός ως κυματική εξίσωση. Κολυμπάμε συνεχώς σε έναν κρυφό ωκεανό εξισώσεων. Υπάρχουν πίσω από τις μεταφορές, το οικονομικό σύστημα, την Υγεία, την πρόληψη και τη διερεύνηση του εγκλήματος, τις επικοινωνίες, το φαγητό, το νερό, τη θέρμανση και τον φωτισμό μας.

Οταν μπαίνετε στο ντους εξισώσεις ρυθμίζουν την παροχή του νερού σας. Τα δημητριακά στο πρωινό σας προέρχονται από σοδειές που καλλιεργήθηκαν με τη βοήθεια στατιστικών εξισώσεων. Το αεροδυναμικό σχήμα του αυτοκινήτου με το οποίο πηγαίνετε στη δουλειά σας οφείλεται ως έναν βαθμό στις εξισώσεις Ναβιέ - Στρόουκς που περιγράφουν πώς ο αέρας ρέει γύρω του. Ανοίγοντας τον πλοηγό σας μπαίνετε ξανά στο πεδίο της Κβαντικής Φυσικής, όπως και σε αυτό των νόμων του Νεύτωνα για την κίνηση και τη βαρύτητα, οι οποίοι βοήθησαν στην εκτόξευση και στον καθορισμό της τροχιάς των γεωδαιτικών δορυφόρων. Η συσκευή χρησιμοποιεί επίσης εξισώσεις-γεννήτριες τυχαίων αριθμών για τον συγχρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, καθώς και την ειδική και γενική σχετικότητα για την ακριβή ανίχνευση της κίνησης των δορυφόρων υπό τη βαρύτητα της Γης.
Χωρίς εξισώσεις το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα είχε εφευρεθεί ποτέ. Βεβαίως σημαντικές εφευρέσεις όπως η φωτιά και ο τροχός προήλθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Παρ' όλα αυτά χωρίς τις εξισώσεις θα βρισκόμασταν ακόμη σε έναν κόσμο του Μεσαίωνα.
Οι εξισώσεις δεν περιορίζονται όμως μόνο στην τεχνολογία. Χωρίς αυτές δεν θα κατανοούσαμε τη Φυσική που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην ακτή, τις συνεχείς μεταβολές του καιρού, τις κινήσεις των πλανητών, τα πυρηνικά καμίνια των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του Σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό.
Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά στις οποίες επικεντρώνομαι εδώ – η κυματική εξίσωση, οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ, ο μετασχηματισμός του Φουριέ και η εξίσωση του Σρέντινγκερ – απεικονίζουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις οδήγησαν σε εξισώσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.

Ενας κόσμος κυμάτων
Κατ' αρχάς, η κυματική εξίσωση. Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αφτιά μας ανιχνεύουν κύματα συμπίεσης στον αέρα ως ήχους, ενώ τα μάτια μας ανιχνεύουν κύματα φωτός. Οταν ένας σεισμός πλήττει μια πόλη, η καταστροφή προκαλείται από σεισμικά κύματα που κινούνται μέσα στη Γη. Θα ήταν δύσκολο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες να μην προβληματιστούν σχετικά με τα κύματα, η αφορμή όμως ήρθε από τις τέχνες: πώς παράγει ήχο ένα βιολί; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαιότητα και στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι αν τα μήκη δύο χορδών ίδιου είδους και τάσης διέπονται από έναν απλό λόγο όπως 2:1 ή 3:2, τότε παράγουν νότες οι οποίες όταν παίζονται μαζί ακούγονται ασυνήθιστα αρμονικές. Οι πιο σύνθετοι λόγοι είναι δυσαρμονικοί και δυσάρεστοι στο αφτί. Ο ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Μπερνούλι ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 απεικόνισε τη χορδή ενός βιολιού σαν έναν τεράστιο αριθμό από πυκνά σημεία μάζας που συνδέονται μεταξύ τους με ελάσματα. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να εξαγάγει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και στη συνέχεια τις έλυσε. Από τις λύσεις συμπέρανε ότι το απλούστερο σχήμα για μια παλλόμενη χορδή είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι δόνησης – ημιτονοειδείς καμπύλες στις οποίες περισσότερα από ένα κύματα ταιριάζουν στο μήκος της χορδής, γνωστές στους μουσικούς ως αρμονικές.

Ντ'Αλαμπέρ: Βιολιά και σεισμοί
Σχεδόν 20 χρόνια μετά, ο Ζαν λε Ρον ντ' Αλαμπέρ ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία. Επικεντρώθηκε όμως στην απλοποίηση των εξισώσεων της κίνησης και όχι στη λύση τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση η οποία περιγράφει πώς το σχήμα της χορδής αλλάζει με τον χρόνο. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση οποιουδήποτε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που επιδρά σε αυτήν. Αυτό υποδηλώνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν παρουσιάζουν μια αναλογία απλών αριθμών παράγουν έναν δυσάρεστο θόρυβο σαν βουητό ο οποίος είναι γνωστός ως «διακροτήματα» (beats). Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απλοί αριθμητικοί λόγοι δίνουν νότες που ακούγονται αρμονικές.
Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να χειριστεί πιο σύνθετα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες μορφές της κυματικής εξίσωσης επιτρέπουν στους σεισμολόγους να ανιχνεύσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές γλιστρούν η μία κάτω από την άλλη προκαλώντας σεισμούς και ηφαιστειακές εκρήξεις. Το μεγαλύτερο τρόπαιο σε αυτόν τον τομέα θα ήταν ένας αξιόπιστος τρόπος πρόβλεψης των σεισμών και των ηφαιστειακών εκρήξεων και πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται γι' αυτόν τον σκοπό βασίζονται στην κυματική εξίσωση.

Από την άμαξα στον τηλέγραφο
Οι εξισώσεις κρύβονται ακόμη και πίσω από τις καλλιέργειες που φέρνουν τα δημητριακά στο πρωινό μας.
Η πιο σημαντική όμως έμπνευση που πρόσφερε η κυματική εξίσωση γεννήθηκε με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820 οι περισσότεροι άνθρωποι φώτιζαν τα σπίτια τους με κεριά και φανάρια. Αν θέλατε να στείλετε κάποιο μήνυμα, γράφατε ένα γράμμα και το βάζατε σε μια άμαξα που την έσερναν άλογα· για τα επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την άμαξα. Μέσα σε 100 χρόνια τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, σήματα μεταφέρονταν με τον τηλέγραφο από ήπειρο σε ήπειρο και οι άνθρωποι άρχισαν ακόμη και να μιλάνε ο ένας στον άλλον από μακριά μέσω τηλεφώνου. Η ραδιοεπικοινωνία είχε αποδειχθεί στο εργαστήριο και ένας επιχειρηματίας είχε στήσει μια επιχείρηση πουλώντας «ασύρματα» στο κοινό.
Η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση πυροδοτήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830 ο Μάικλ Φαραντέι έθεσε τα θεμέλια της Φυσικής του Ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα ο Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ ξεκίνησε την αναζήτησή του προσπαθώντας να διατυπώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Φαραντέι.

Φαραντέι: τα πεδία
Την εποχή εκείνη οι περισσότεροι φυσικοί που εργάζονταν στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό αναζητούσαν αναλογίες με τη βαρύτητα, την οποία έβλεπαν ως μια δύναμη που επενεργεί σε δύο σώματα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Ο Φαραντέι είχε μια διαφορετική ιδέα: για να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που έκανε σε σχέση με τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό υποστήριξε ότι και τα δύο φαινόμενα είναι πεδία τα οποία διαχέονται στον χώρο, αλλάζουν με τον χρόνο και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Φαραντέι διετύπωσε τις θεωρίες του με τους όρους γεωμετρικών σχημάτων, όπως οι γραμμές μαγνητικής δύναμης.
Ο Μάξγουελ επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες κατ' αναλογία με τα Μαθηματικά της ροής των ρευστών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές της δύναμης ήταν ανάλογες με τις διαδρομές που ακολουθούν τα μόρια ενός ρευστού και ότι η ένταση του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Ως το 1864 ο Μάξγουελ είχε διατυπώσει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα ηλεκτρικά και στα μαγνητικά πεδία. Οι δύο μάς λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν σε μεγάλη απόσταση. Οι άλλες δύο μάς λένε ότι όταν μια περιοχή ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κυκλικά δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, ενώ μια περιστρεφόμενη περιοχή μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.

Μάξγουελ: Φως στο φως
Εκείνο όμως το οποίο έκανε όλα αυτά τόσο εκπληκτικά ήταν αυτό που ο Μάξγουελ έκανε στη συνέχεια. Κάνοντας μερικές απλές μετατροπές στις εξισώσεις του, μπόρεσε να εξαγάγει την κυματική εξίσωση και συμπέρανε ότι το φως θα πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό και μόνο ήταν καταπληκτικό, εφόσον κανείς ως τότε δεν είχε φανταστεί μια τόσο θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Το φως υπάρχει σε διάφορα χρώματα, αντίστοιχα με διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που εμείς βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ οδήγησαν σε μια συγκλονιστική πρόβλεψη – ότι ήταν δυνατόν να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κάποια από αυτά, με μήκη κύματος μεγαλύτερα από αυτά που μπορούμε να δούμε, θα άλλαζαν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα.
Το 1887 ο Χάινριχ Χερτς απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα. Δεν υπολόγισε όμως την πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Αν μπορούσε κανείς να εντυπώσει ένα σήμα επάνω σε ένα τέτοιο κύμα θα μπορούσε να μιλήσει στον κόσμο. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Γουλιέλμος Μαρκόνι και άλλοι έκαναν το όνειρο αυτό πραγματικότητα και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση ως το ραντάρ και τις ζεύξεις μικροκυμάτων για τα κινητά τηλέφωνα, ήταν ένα φυσικό επακόλουθο. Και όλα προήλθαν από τέσσερις εξισώσεις και δύο σύντομους υπολογισμούς. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δεν άλλαξαν απλώς τον κόσμο. Ανοιξαν έναν καινούργιο.
Εξίσου σημαντικά με αυτά που περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι εκείνα που δεν περιγράφουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως είναι κύμα, οι φυσικοί σύντομα ανακάλυψαν ότι η συμπεριφορά του μερικές φορές δεν συμβάδιζε με αυτή την άποψη. Αν ρίξετε φως σε ένα μέταλλο παράγεται ηλεκτρισμός – ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Αυτό θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφερόταν σαν σωματίδιο. Ηταν λοιπόν το φως κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα ήταν και τα δύο. Η ύλη αποτελείται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτοδεμένη δέσμη κυμάτων ενεργεί σαν σωματίδιο.

Σρέντινγκερ: Νεκρή ή ζωντανή;
Στον παράξενο κόσμο των κβαντικών υπολογισμών του Σρέντιγκερ μια γάτα μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή ταυτοχρόνως.
Το 1927 ο Ερβιν Σρέντινγκερ ανέπτυξε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Αυτή ταίριαζε άψογα στα πειράματα, ενώ παράλληλα περιέγραφε έναν πολύ παράξενο κόσμο, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι αυστηρά καθορισμένα αντικείμενα αλλά νέφη πιθανοτήτων. Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός ηλεκτρονίου είναι σαν ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να είναι μισό κορόνα - μισό γράμματα ώσπου να πέσει στο τραπέζι. Σύντομα οι θεωρητικοί άρχισαν να προβληματίζονται για ένα σωρό κβαντικές παραξενιές, όπως οι γάτες που ήταν ταυτοχρόνως νεκρές και ζωντανές και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδιζε τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο.
Η Κβαντομηχανική δεν περιορίζεται όμως μόνο σε φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλες οι σύγχρονες συσκευές – ηλεκτρονικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες βιντεοπαιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – έχουν τσιπ μνήμης που βασίζονται στο τρανζίστορ, του οποίου η λειτουργία βασίζεται στην Κβαντομηχανική των Ημιαγωγών. Νέες χρήσεις της Κβαντομηχανικής φθάνουν σχεδόν κάθε εβδομάδα. Οι κβαντικές τελείες – μικροσκοπικοί «σβώλοι» ημιαγωγών – μπορούν να εκπέμψουν φως οποιουδήποτε χρώματος και χρησιμοποιούνται στις βιολογικές απεικονίσεις, όπου μπορούν να αντικαταστήσουν τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, χρωστικές. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να επινοήσουν έναν κβαντικό υπολογιστή ο οποίος θα μπορεί να εκτελεί πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς παράλληλα, σαν τη γάτα που είναι μαζί νεκρή και ζωντανή.
Τα λέιζερ αποτελούν μιαν άλλη εφαρμογή της Κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά «λακκάκια» στους δίσκους CD, DVD και Blu-ray. Οι αστρονόμοι τα χρησιμοποιούν για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη ως τη Σελήνη. Ισως ακόμη και να ήταν δυνατόν να εκτοξεύσουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη επάνω σε μια ισχυρή ακτίνα λέιζερ.

Φουριέ: πάνω απ' όλα η μέθοδος
Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία έρχεται από μια εξίσωση η οποία μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Αρχίζει το 1807, όταν ο Ζοζέφ Φουριέ επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε το σχετικό άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, όμως αυτό απερρίφθη. Το 1812 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Φουριέ υπέβαλε ένα μακροσκελέστερο, αναθεωρημένο άρθρο – και κέρδισε.
Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά του βραβευμένου άρθρου του Φουριέ δεν ήταν η εξίσωση αλλά ο τρόπος με τον οποίο την έλυσε. Ενα βασικό πρόβλημα ήταν το να βρει κανείς πώς η θερμότητα κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου αλλάζει με τον χρόνο με βάση το πρότυπο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Φουριέ θα μπορούσε να λύσει την εξίσωση άνετα αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου. Απεικόνισε ένα πιο σύνθετο πρότυπο με έναν συνδυασμό ημιτονοειδών καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη και πρόσθεσε αυτές τις λύσεις μεταξύ τους. Ο Φουριέ υποστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οποιοδήποτε πρότυπο, ακόμη και για εκείνα στα οποία η θερμοκρασία αλλάζει απότομα τιμή. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να προσθέσει κανείς έναν άπειρο αριθμό συνιστωσών από ημιτονοειδείς καμπύλες.
Παρ' όλα αυτά το νέο άρθρο του Φουριέ επικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και για ακόμη μία φορά η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα έγινε γραμματέας της Ακαδημίας, έβγαλε τη γλώσσα στους επικριτές του και δημοσίευσε την αρχική εργασία στην επιθεώρηση της Ακαδημίας. Ωστόσο οι επικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα όντα: δεν συμπεριφέρονταν πάντα σαν τα ωραία, πεπερασμένα αθροίσματα. Η επίλυση αυτών των ζητημάτων αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, όμως η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Φουριέ θα μπορούσε να τεκμηριωθεί πλήρως αποκλείοντας τα εξαιρετικά άτακτα πρότυπα. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός του Φουριέ, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες υπολογίζοντας τα πλάτη και τις συχνότητές τους.

Παρών σε κάθε «κλικ»
Σήμερα ο μετασχηματισμός του Φουριέ επηρεάζει τη ζωή μας με χίλιους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα της δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται στο έδαφος είναι μεγαλύτερη. Ενα βήμα για την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να εξασφαλίσει κανείς ότι οι προτιμώμενες συχνότητες του κτιρίου διαφέρουν από αυτές της σεισμικής δόνησης.
Αλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την απάλειψη του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της απεικόνισης με ακτίνες Χ, τη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και την αποφυγή ανεπιθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα. Επίσης όλοι μας επωφελούμαστε από αυτήν κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.



Πηγή: Το ΒΗΜΑ science

Χαιρετισμός

Σεπτέμβριος 2012 και έχω ήδη πάρει την απόφαση να φτιάξω ένα ιστολόγιο για τους μαθητές μου... Για τα παιδιά που μου εμπιστεύονται τον εαυτό τους και την γνώση τους αλλά και για τους γονείς που μου εμπιστεύονται τα παιδιά τους ώστε να είμαι εγώ αυτός που θα τους βοηθήσει, στα μαθηματικά, για την ώρα, αλλά και σε άλλους τομείς όσο μπορώ. Έχει έρθει λοιπόν η ώρα ότι έκαναν τόσα χρόνια σε μένα οι καθηγητές μου, με σκοπό να αγαπήσω τα μαθηματικά και να είμαι πλέον ένας καθηγητής Μαθηματικών, να το κάνω για τους μαθητές μου. Σκοπός δεν είναι πάντα ο καλός βαθμός, αλλά η μετάδοση της γνώσης στα παιδιά. Το να αγαπούν αυτό που οι ίδιοι κάνουν, είναι πολύ σημαντικό, γιατί πάντα για να μας εκτιμήσουν οι γύρω μας πρέπει εμείς να εκτιμήσουμε τον εαυτό μας, για να αγαπήσουμε τους γύρω μας πρέπει να αγαπήσουμε τον εαυτό μας, έτσι συμβαίνει και με τα μαθηματικά.. Σημασία δεν έχει πάντα η σωστή κατανόηση και ο βαθμός αλλά η αντίληψη και η δημιουργία ορθού τρόπου σκέψης...