Γιατί χρειάζομαι τα Μαθηματικά;;;

Όταν ένας μαθητής τον ρώτησε «Που χρειάζονται τα μαθηματικά», αυτός ο καθηγητής του έδωσε την ΠΙΟ έξυπνη απάντηση!

 

Ο Jeremy Kun, καθηγητής μαθηματικών, ρωτήθηκε κάτι που μας έχει απασχολήσει όλους: «Που θα εφαρμόσω το ημίτονο, το συνημίτονο, τις εφαπτομένες, τα ολοκληρώματα και τα υπόλοιπα από την άλγεβρα και τη γεωμετρία;» Ο Kun βρήκε 5 λόγους που κάνουν τα μαθηματικά τόσο σημαντικά στη ζωή μας. 



Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να παραδεχόμαστε όταν κάνουμε κάποιο λάθος.
Και όχι μόνο να το παραδεχόμαστε, αλλά και να προχωράμε και να βρίσκουμε τη λύση σε αυτό που ψάχναμε αρχικά.
Για παράδειγμα, ο Νίκος και η Μαρία στέκονται μπροστά σε μια εξίσωση γραμμένη στον πίνακα. Η Μαρία είναι σίγουρη ότι η εξίσωση είναι σωστή, αλλά ο Νίκος πιστεύει ότι είναι λάθος. Την επόμενη ώρα αλλάζουν απόψεις και θεωρούν το αντίθετο από αυτό που πίστευαν αρχικά. Ακούγεται παράξενο; Οι μαθηματικοί αντιμετωπίζουν τέτοιες καταστάσεις σχεδόν καθημερινά.
Ρωτήστε οποιονδήποτε καθηγητή για το τι πρέπει να κάνετε αν η άσκηση δεν λύνεται, και η απάντηση είναι απλή: «Ξεκίνα από την αρχή, και δοκίμασε έναν άλλον τρόπο. Και μην ανησυχείς για το λάθος που έκανες, επειδή ήταν το στοιχείο που τελικά σου έδειξε το σωστό δρόμο.»




Να διαλέγεις ακριβή και σωστά λόγια. 
 Η ακρίβεια είναι η ευγένεια των μαθηματικών, καθώς κάθε μαθηματικό στοιχείο έχει ξεκάθαρο ορισμό.
Θυμάστε που οι καθηγητές μας έβαζαν να μαθαίνουμε απ” έξω κάθε γεωμετρικό ορισμό, για παράδειγμα το θεώρημα του Πυθαγόρα; Δεν είχαμε ιδέα που ή πότε θα χρησιμοποιούσαμε αυτή τη γνώση. Αλλά ας σκεφτούμε για λίγο, θα ονομάζαμε κάτι που δεν έχει ακριβή ορισμό;







Να σκέφτεσαι αρκετά βήματα μπροστά.
Η λύση μαθηματικών προβλημάτων είναι σαν να παίζεις σκάκι. Κάθε λάθος ή απρόσεκτη κίνηση μπορεί να αποφέρει καταστροφικές συνέπειες.
Πόσες φορές όταν λύναμε μαθηματικές ασκήσεις, καταλήγαμε σε αδιέξοδο, επειδή βάλαμε κατά λάθος «μείον» αντί για «συν»; Ακόμα και το παραμικρό λάθος μπορεί να καταστρέψει τα πάντα και να γίνει εμπόδιο στο δρόμο για την επιτυχία. Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να δίνουμε σημασία στη λεπτομέρεια και να είμαστε υπεύθυνοι για ό, τι κάνουμε.




Όχι όπως όλοι, αλλά με τον δικό σου τρόπο.
 “Αυτό που δηλώνω τώρα είναι ψευδές“ — έτσι ακούγεται το «παράδοξο του ψεύτη». Είναι η καλύτερη περιγραφή των όσων συμβαίνουν στη σύγχρονη κοινωνία.
Υπάρχουν αρκετά θεωρήματα, κανόνες και αξιώματα που παλιότερα θεωρούνταν σωστά, αλλά πλέον δεν ισχύουν. Και αυτό σημαίνει ότι δεν πρέπει να εμπιστευόμαστε τυφλά την πιο επίσημη άποψη, μέχρι να το ελέγξουμε εμείς οι ίδιοι. Οι επιστήμονες το αποκαλούν «λογικό σκεπτικισμό», και τα μαθηματικά μας το διδάσκουν αυτό πολύ καλά.



Και ποτέ να μη τα παρατάμε. Επειδή αν δεν λύσεις ένα πρόβλημα, κάποιος άλλος θα το κάνει σίγουρα. Γιατί λοιπόν να μη γίνετε ο πρώτος;

ΠΗΓΗ: epicnews.info

Και πού θα μας χρησιμεύσουν αυτά, κύριε?

Και πού θα μας χρησιμεύσουν αυτά, κύριε?

Στον σύγχρονο κόσμο των πρακτικών εφαρμογών  οι μαθητές απαιτούν από το σχολείο να τους προσφέρει  εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν άμεσα, αλλά και την σύνδεση αυτών με την καθημερινή πραγματικότητα. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά γι΄αυτούς αξία  κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο. Η κατάρα του αφηρημένου όμως συνοδεύει πάντα τα μαθηματικά και αυτό περνάει (αναπόφευκτα) και μέσα από τα σχολικά μαθηματικά. Έτσι όμως καταλήγουμε στην   δημιουργία  μιας στρεβλής εικόνας:  δεν μπορούμε να δούμε πως τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, και σαν παγκόσμια γλώσσα συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει, μόνο που χρειάζεται προσπάθεια (άλλοτε μικρή και άλλοτε μεγάλη) για να τo ανακαλύψουμε. 

Αρχικά ας δώσουμε  μερικά παραδείγματα χρησιμότητας των Μαθηματικών:

Η μέτρηση της απόστασης δύο απρόσιτων σημείων δεν θα ήταν δυνατή χωρίς  τη Γεωμετρία,  οι Μιγαδικοί αριθμοί έχουν άμεση εφαρμογή στο εναλλασσόμενο ρεύμα, ο λεπτομερής σχεδιασμός των τροχιών των διαστημικών οχημάτων γίνεται με την βοήθεια διαφορικών εξισώσεων, η Αναλυτική Γεωμετρία μέσω της ανακλαστικής ιδιότητας της έλλειψης δίνει στην Ιατρική έναν τρόπο κονιορτοποίησης των λίθων του νεφρού, η λειτουργία του γνωστού μας  GPS (Global Positioning System) στηρίζεται στον ορισμό της κωνικής τομής που λέγεται Υπερβολή, η Θεωρία Αριθμών έχει εφαρμογές στην Κρυπτογραφία.

Οι μαθητές συνήθως κάνουν  την ερώτηση "πού χρησιμεύει αυτό;" σαν άλλοθι, όταν δεν αντιλαμβάνονται μια έννοια. Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Πράγματι, με μια επιδερμική και αφελή προσέγγιση θα έλεγε κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις 4 πράξεις για τους καθημερινούς υπολογισμούς τους.

Τα πράγματα όμως δεν είναι τόσο απλά. Μέσω των Μαθηματικών οι μαθητές μπορούν να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων. Αυτό δύναται να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων. Επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές  της κρίσης, της φαντασίας, της αυτενέργειας κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Σε πολλές χώρες υπάρχει ειδικό (σχετικό) μάθημα το Problem Solving.

Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, οι μαθητές δημιουργούν θετικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχία, ορθολογική σκέψη, επιχειρηματολογία (μέσω της απόδειξης).

Η μέθοδος διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου βέβαια δεν θα πρέπει να προσφέρει έτοιμη γνώση, αλλά να βοηθάει τους μαθητές να την ανακαλύψουν μόνοι τους. Έτσι, οι μαθητές, μέσω της παρατήρησης, της εξερεύνησης, της ανίχνευσης των νόμων και κανόνων που διέπουν τα Μαθηματικά, θα αναπτύξουν ικανότητες  λογικής σκέψης, θα διαμορφώσουν σωστή κρίση και θα μάθουν να αναγνωρίζουν σχέσεις μεταξύ ανεξάρτητων γεγονότων.

Μέσω των  μαθημάτων  της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, μπορούν να αναγνωρίσουν την  ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης και να ανακαλύψουν τις ιδιότητές τους.

Στο σημερινό σχολείο η χρησιμότητα των Μαθηματικών καθώς και η σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με την πραγματικότητα αγνοούνται (σε μεγάλο βαθμό) επιμελώς, ενώ τα πραγματικά Μαθηματικά, οι μαθηματικές έννοιες δηλαδή, υποχωρούν μπροστά στην τεχνική και η μαθηματική γνώση διολισθαίνει σε ένα σύνολο από κανόνες, τύπους και μεθοδολογίες. Ο μαθητής αγνοεί την ουσία, το νόημα, το περιεχόμενο, τη χρησιμότητα. Απομνημονεύει απλώς και μάλιστα βίαια στοχεύοντας  στην επιτυχία στις εξετάσεις , αλλά η  μαθηματική παιδεία του πληθυσμού  εξακολουθεί να παραμένει σε ανησυχητικά χαμηλά επίπεδα. Ως αποτέλεσμα έχουμε το τραγελαφικό φαινόμενο, μαθητές που γράφουν άριστα στα Μαθηματικά στις  Εισαγωγικές Εξετάσεις στα Πανεπιστήμια, να μην ξέρουν τι είναι Ορισμένο Ολοκλήρωμα.

Σημαντική ευθύνη φέρει το μοντέλο που εφαρμόζεται στη διδασκαλία των Μαθηματικών, φυσικό επακόλουθο του γενικότερου Εκπαιδευτικού Συστήματος: εφόσον τα Μαθηματικά είναι ένα σύνολο από κανόνες, τύπους και μεθοδολογίες, ο διδάσκων δεν έχει παρά να τα παρουσιάσει στους μαθητές, οι οποίοι και οφείλουν να τα κατανοήσουν και να τα απομνημονεύσουν. Η εφαρμογή, η λύση δηλαδή ασκήσεων, αποκτά κυρίαρχη θέση στο μάθημα, ενώ οι περισσότεροι μαθητές οδηγούνται σε αδιέξοδο.

Οι σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών οδηγούν σε μια νέα  πραγματικότητα η οποία χαρακτηρίζεται από δύο κυρίαρχα στοιχεία: α) Ο μαθητής δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών που του προσφέρονται από τον διδάσκοντα, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα διαμορφωμένες μαθηματικές καταστάσεις και προβλήματα. β) Ο μαθητής καλείται να διαμορφώσει με την υποστήριξη του διδάσκοντος  μια δική του μαθηματική συμπεριφορά στο μέτρο του εφικτού.

Τι μπορούν να προσφέρουν τα Μαθηματικά στην κοινωνία; Μια εύστοχη ενημέρωση δίνει η παρακάτω λίστα πνευματικών διεργασιών που έχουν άμεση σχέση με την μαθηματική εκπαίδευση: αναλύω, δομώ, γενικεύω, συνθέτω, συνδυάζω, τυποποιώ, απλοποιώ, ερμηνεύω, σχηματοποιώ, μετασχηματίζω, συγκρίνω.

Μια δεύτερη απάντηση (από άρθρο του Καθηγητή Γ. Παντελίδη στο περιοδικό Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί) έρχεται μέσα από τις πολλές εφαρμογές των Μαθηματικών στις άλλες επιστήμες. Ας δούμε μερικές:

Ηλεκτρονική Τομογραφία:

Σήμερα μπορούμε να «δούμε» μέσα στο ανθρώπινο σώμα. Ένας σωλήνας Roentgen διατρέχει βραδέως το ανθρώπινο σώμα ενώ εκπέμπει μια ασθενή ακτίνα. Πάνω σε μια οθόνη, η ακτίνα παράγει  ένα «φάντασμα» του εσωτερικού του ανθρώπινου σώματος. Είναι η γνωστή μας ακτινογραφία. Στις νέες συσκευές η οθόνη αποτελείται από ανιχνευτές ακτινών  οι οποίοι μετρούν ποσοτικά την ένταση απορρόφησης της ακτίνας Roentgen από το ανθρώπινο σώμα. Στη συνέχεια οι ανιχνευτές μεταβιβάζουν την πληροφορία σε ένα Η/Υ ο οποίος αναπαράγει ένα πιστό αντίγραφο του σώματος. Είναι η Ηλεκτρονική Τομογραφία. Και που είναι τα μαθηματικά; Η εσωτερική εικόνα είναι άγνωστη. Από αυτή γνωρίζουμε μόνο ένα (ασθενές) ομοίωμα που παράγεται από την ακτίνα Roentgen. Η εικόνα αυτή όμως είναι το Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα άγνωστης συνάρτησης πάνω στην εσωτερική εικόνα. Πως ανακτούμε λοιπόν από το Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα  την άγνωστη συνάρτηση; Ο μαθηματικός Johann Radon επεξεργάστηκε μαθηματικά το πρόβλημα το 1917. Η ηλεκτρονική τομογραφία δεν είναι τίποτα άλλο από την αντιστροφή του μετασχηματισμού Radon.

Μαγνητική Τομογραφία:
τεράστιοι μαγνήτες δακτυλιοειδώς διατεταγμένοι γύρω από το ανθρώπινο σώμα παράγουν ισχυρό μαγνητικό πεδίο, το οποίο ευθυγραμμίζει τους άξονες των ατόμων Υδρογόνου στο ανθρώπινο σώμα, μετριέται η ένταση των προκαλούμενων παλμών και έτσι παράγεται μια εικόνα του εσωτερικού του σώματος. Τα μαγνητικά πεδία έπρεπε να υπολογιστούν με Ελλειπτικά Ολοκληρώματα, για τον  δε υπολογισμό αυτών  ήσαν απαραίτητοι πολύ «γρήγοροι» αλγόριθμοι με σκοπό την ταχύτατη αντίδραση στα δεδομένα, για βραχυχρόνια έκθεση σε ακτινοβολίες. Την απάντηση έδωσε ο μαθηματικός Jacobi,  δηλαδή πριν από 60 χρόνια τα Μαθηματικά είχαν δώσει τα κατάλληλα εργαλεία για την Μαγνητική Τομογραφία.

Στην  σημερινή τεχνολογικά προηγμένη αλλά και άκρως ανταγωνιστική κοινωνία, η γνώση των βάσεων της σύγχρονης Μαθηματικής Επιστήμης, είναι απαραίτητη για έναν πολίτη, ώστε να μπορεί να κατανοεί ότι συμβαίνει γύρω του και να συμμετέχει στις εξελίξεις.

Ο μύθος του «είμαι κακός στα μαθηματικά»

"Δεν έχω μαθηματικό μυαλό". Το ακούμε διαρκώς. Όμως αυτή η άποψη περί "μαθηματικών μυαλών" καταντάει να είναι αυτοκαταστροφική για όσους την ασπάζονται. Η πραγματικότητα είναι ότι μάλλον έχετε "μαθηματικό μυαλό", όμως αν έχετε διαφορετική άποψη ίσως βλάπτετε τη καριέρα σας. Αλλά το χειρότερο είναι ότι συμβάλετε στη διαιώνιση ενός μύθου που βλάπτει ολέθρια τα μη προνομιούχα παιδιά, το μύθο της έμφυτης γενετικής ικανότητας στα μαθηματικά.

Είναι έμφυτη η ικανότητα στα μαθηματικά; Σίγουρα σε κάποιο βαθμό είναι. Ο Terence Tao, διάσημος μαθηματικός του UCLA , δημοσιεύει δεκάδες άρθρα σε κορυφαία περιοδικά κάθε χρόνο. Ερευνητές απ' όλο τον κόσμο ζητούν τη βοήθεια του για τα δυσκολότερα κομμάτια της έρευνας τους. Κανένας από εμάς δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι τόσο καλός στα μαθηματικά όπως ο Terence Tao, ανεξαρτήτως πόσο σκληρά προσπαθήσουμε ή πόσο καλούς δασκάλους έχουμε. Αλλά εδώ είναι η διαφορά: Εμείς δεν χρειάζεται να είμαστε τόσο καλοί! Για τα μαθηματικά του σχολείου, το εκ γενετής ταλέντο είναι πολύ λιγότερο σημαντικό από τη σκληρή δουλειά , την προετοιμασία και την αυτοπεποίθηση.

Πώς το ξέρουμε αυτό; Όσοι διδάσκουν μαθηματικά για πολλά χρόνια - καθηγητές, βοηθοί διδασκαλίας και εκπαιδευτικοί του ιδιωτικού τομέα -  παρατηρούν να  επαναλαμβάνεται το παρακάτω μοτίβο :

Διαφορετικά παιδιά με διαφορετικά επίπεδα της προετοιμασίας ξεκινούν σε μια τάξη μαθηματικών. Μερικά από αυτά τα παιδιά έχουν γονείς που τα έχουν βοηθήσει να εντρυφήσουν στα μαθηματικά από μικρή ηλικία , ενώ άλλα παιδιά δεν είχαν αυτή τη γονική βοήθεια.

Στα πρώτα τέστ, τα καλά προετοιμασμένη παιδιά παίρνουν πολύ καλά αποτελέσματα, ενώ τα απροετοίμαστα παιδιά παίρνουν ό, τι κατάφεραν να μάθουν από μόνα τους.

Τα απροετοίμαστα παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι αυτοί που πήραν τους καλούς βαθμούς ήταν καλά προετοιμασμένοι, και υποθέτουν ότι η εκ γενετής ικανότητα καθόρισε την διαφορά στην απόδοση τους. Έχοντας αποδεχτεί ότι "δεν έχουν μαθηματικά μυαλό", δεν προσπαθούν σκληρά και στις επόμενες τάξεις , και αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μείνουν πίσω .

Τα καλά προετοιμασμένη παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι οι μαθητές που δεν πήραν καλούς βαθμούς ήταν απλώς απροετοίμαστοι, υποθέτουν ότι έχουν "μαθηματικό μυαλό", και μελετούν πολύ και στο μέλλον ώστε να επιβεβαιώσουν το πλεονέκτημα  τους.

Έτσι, η πίστη των ανθρώπων ότι η ικανότητα στα μαθηματικά δεν μπορεί να αλλάξει γίνεται μια αυτοεκπληρούμενη προφητεία .

Η άποψη ότι η ικανότητα στα μαθηματικά είναι κυρίως έμφυτη αποτελεί μια σκοτεινή πτυχή της μεγαλύτερης πλάνης ότι η νοημοσύνη είναι κυρίως έμφυτη. Τα ακαδημαϊκά περιοδικά ψυχολογίας είναι γεμάτα δημοσιεύσεις που μελετούν την άποψη που βρίσκεται πίσω από το είδος της αυτοεκπληρούμενης προφητείας που μόλις περιγράψαμε. Για παράδειγμα, η καθηγήτρια ψυχολόγος  Patricia Linehan του πανεπιστημίου Purdue γράφει :

Οι μελέτες σχετικά με το πως αντιλαμβανόμαστε την ικανότητα, έχουν δείξει δύο διαφορετικούς τύπου προσανατολισμού. Οι μαθητές με τον πρώτο τύπο (Incremental orientation), πιστεύουν ότι η ικανότητα (νοημοσύνη ) είναι εύπλαστη, με αποτέλεσμα να καταβάλουν μεγαλύτερη προσπάθεια. Οι μαθητές με τον δεύτερο τύπο προσανατολισμού (Entity orientation) πιστεύουν ότι η ικανότητα τους δεν είναι εύπλαστη, κάτι που τους αποτρέπει να προσπαθήσουν περισσότερο .

Η άποψη που λέει  "Είτε είστε έξυπνος είτε όχι, τελεία και παύλα» οδηγεί σε κακά αποτελέσματα. Αυτό έχει επιβεβαιωθεί και από πολλές άλλες μελέτες . Όσο αφορά τα μαθηματικά αποδείχτηκε πρόσφατα και από τους ερευνητές στο Oklahoma City  που βρήκαν σε μελέτη που έκαναν, ότι η πίστη στην έμφυτη ικανότητα στα μαθηματικά μπορεί να είναι η αιτία για σημαντικό μέρος της του χάσματος μεταξύ των δύο φύλων στα μαθηματικά .

Σε άλλη έρευνα, οι ψυχολόγοι Lisa Blackwell , Kali Trzesniewski και Carol Dweck παρουσίασαν σε φοιτητές τις δύο παρακάτω εναλλακτικές  πεποιθήσεις των ανθρώπων σχετικά με την ευφυΐα :

Έχετε συγκεκριμένη ποσότητα νοημοσύνης, και δεν μπορείτε να κάνετε πολλά για να την αλλάξετε .

Μπορείτε  να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε .

Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές οι οποίοι συμφώνησαν ότι «μπορείτε να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε  " πήραν υψηλότερους βαθμούς. Αλλά, όπως ο Richard Nisbett αφηγείται στο βιβλίο Intelligence and How to Get It , οι ερευνητές έκαναν κάτι ακόμα πιο αξιοπρόσεκτο:

Προσπάθησαν να πείσουν μια ομάδα μαθητών  γυμνασίου και λυκείου που προέρχονταν από μία  φτωχή μειονότητα, ότι η νοημοσύνη είναι εξαιρετικά εύπλαστη και μπορεί να αναπτυχθεί με τη σκληρή δουλειά ... ότι η μάθηση αλλάζει τον εγκέφαλο δημιουργώντας νέες νευρωνικές συνάψεις ... και ότι οι μαθητές είναι υπεύθυνοι για αυτή τη διαδικασία αλλαγής.

Τα αποτελέσματα; Οι μαθητές που πείστηκαν ότι θα μπορούσαν να γίνουν πιο έξυπνοι με τη σκληρή δουλειά, εργάστηκαν σκληρότερα και πέτυχαν υψηλότερη βαθμολογία. Απ' αυτούς τους μαθητές, ακόμα καλύτερο αποτέλεσμα πέτυχαν όσοι πίστευαν αρχικά  ότι η ευφυΐα είναι έμφυτη.

Αλλά η βελτίωση των βαθμών δεν ήταν η πιο εντυπωσιακή επίδραση. Ο Dweck αναφέρει ότι ορισμένοι μαθητές ξέσπασαν σε δάκρυα ακούγοντας ​​ότι η νοημοσύνη τους είναι ουσιαστικά υπό τον έλεγχό τους. "Δεν είναι εύκολο να περάσεις μια ζωή πιστεύοντας ότι γεννήθηκες χαζός και είσαι καταδικασμένοι να παραμείνεις έτσι ."

Για όσους πιστεύουν ότι έχουν γεννηθεί χαζοί και είναι καταδικασμένοι να μείνουν έτσι - αυτό το πιστεύω είναι ψέμα . Το IQ μπορεί να βελτιωθεί με τη σκληρή δουλειά. Παραθέτουμε και κάποιους άλλους συνδέσμους που θα σας βοηθήσουν να αναθεωρήσετε αν πιστεύετε στην έμφυτη ευφυΐα :

• The Art of Learning by Josh Weitzkin
• Moonwalking with Einstein by Joshua Foer
• The Talent Code by Daniel Coyle
• Talent is Overrated by Geoff Colvin

Γιατί τα παιδιά τρέμουν τα μαθηματικά

 

ΤΟ ΔΕΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΓΙΑ ΝΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΘΕΙ

Μάθημα-φόβητρο για όλες τις γενιές, τα μαθηματικά εξακολουθούν να χωρίζουν τους μαθητές σε μυημένους και αμύητους. Οι ειδικοί εξηγούν πού οφείλεται η κλασική φοβία των αριθμών και πώς μπορούμε να την αντιμετωπίσουμε

 
Η ειδική ορολογία των μαθηματικών και τα αφηρημένα σύμβολα δυσκολεύουν τους μαθητές να κατακτήσουν τις διάφορες έννοιες
Γιατί οι μαθητές φοβούνται τα μαθηματικά; Και πώς θα ξεπεράσουν τους φόβους τους μπροστά σε ένα μάθημα το οποίο είναι άκρως απαραίτητο για μια επιτυχημένη επαγγελματική ζωή; Η μαθηματικοφοβία είναι το άγχος, ο φόβος, η ανασφάλεια που αισθάνονται οι μαθητές για το μάθημα των μαθηματικών και βέβαια δεν πρόκειται για μια παθολογική κατάσταση. Προξενείται από τις αρνητικές εμπειρίες των μαθητών στο μάθημα των μαθηματικών και επηρεάζει άμεσα τη μαθηματική τους επίδοση, μειώνοντάς τη στο ελάχιστο.

Το φαινόμενο όπως υποστηρίζουν οι ειδικοί επιστήμονες οφείλεται κατά κύριο λόγο στους εκπαιδευτικούς, στον τρόπο που διδάσκεται το μάθημα, στα «άχαρα» βιβλία των μαθηματικών αλλά και στο οικογενειακό περιβάλλον. Και στην Ελλάδα το πρόβλημα αυτό είναι διαδεδομένο ανάμεσα στον μαθητικό πληθυσμό, ενώ ταυτόχρονα από την άλλη πλευρά οι Ελληνες μαθητές που επιλέγονται από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία μέσα από διαγωνισμούς για μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου έχουν πολύ μεγάλες επιτυχίες στις Μαθηματικές Ολυμπιάδες.

Δέος
Οπως λένε οι εκπαιδευτικοί όταν τα παιδιά «μάθουν» από μικρά, δηλαδή από δημοτικό σχολείο να φοβούνται τα μαθηματικά, το πιθανότερο είναι ότι δεν θα πάψουν ποτέ να τα φοβούνται, θα έχουν χαμηλές επιδόσεις και πάντα θα νιώθουν δέος μπροστά από ένα πρόβλημα μαθηματικών, κάτι που θα έχει συνέπειες και στο επαγγελματικό τους μέλλον.

Η μαθηματικοφοβία αποτελεί ένα ευρέως διαδεδομένο φαινόμενο. Την ίδια στιγμή όμως τα μαθηματικά γίνονται όλο και πιο απαραίτητα στη ζωή μας, καθώς η τεχνολογική επανάσταση έχει δημιουργήσει ένα περιβάλλον όπου οι άνθρωποι που έχουν δυσκολίες με τις μαθηματικές έννοιες θα αποκλείονται σταδιακά από όλο και περισσότερες σημαντικές θέσεις στην αγορά εργασίας.

Οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι το πρόβλημα προέρχεται κυρίως από τον τρόπο που διδάσκονται τα μαθηματικά, χωρίς βέβαια να αποκλείουν και άλλους παράγοντες όπως:

• Η μαθηματική γλώσσα, η οποία απέχει πολύ από τη φυσική καθημερινή γλώσσα. Η ειδική ορολογία των μαθηματικών και τα αφηρημένα σύμβολα δυσκολεύουν τους μαθητές να κατακτήσουν τις διάφορες έννοιες.
• H ιδιαίτερη φύση του μαθήματος των μαθηματικών με την αλυσιδωτή σειρά των εννοιών και την πυραμιδωτή - παραγωγική ανάπτυξή τους, προξενεί ένταση στα παιδιά και δυσχεραίνει τη μαθησιακή διαδικασία σε περίπτωση δημιουργίας κενών.
• Ο φόβος, που εδώ και χιλιάδες χρόνια έχει καλλιεργηθεί για τα μαθηματικά και ότι αυτά μπορούν ν΄ αποτελέσουν κτήμα των λίγων και εκλεκτών.
• Η κακή διδασκαλία των μαθηματικών η οποία στηρίζεται στην απομνημόνευση και αποστήθιση και όχι στην κατανόηση μέσω της ενεργητικής συμμετοχής των μαθητών στη διαδικασία ανακάλυψης και κατασκευής της μαθηματικής γνώσης.

Ακόμη και η διαδικασία αξιολόγησης των παιδιών, η ασκησιομανία και η βαθμοθηρία λειτουργούν αρνητικά.

• Η φοβική τάση για το μάθημα κατά το μεγαλύτερο ποσοστό δημιουργείται στις τάξεις των μαθηματικών και οφείλεται κυρίως στην προβληματική διδασκαλία και συμπεριφορά των διδασκόντων.

Τι πρέπει να προσέχουν οι εκπαιδευτικοί

10 συμβουλές για να λύσουμε την εξίσωση του φόβου

Ενα τρικ για τους γονείς είναι τα μαθηματικά παιχνίδια που κάνουν το μάθημα ευχάριστο και ελκυστικό

• Να μη μαλώνουν τους μικρούς μαθητές όταν κάνουν λάθη στις ασκήσεις, όταν δεν καταλαβαίνουν κάτι, αλλά να προσπαθούν να πείσουν τα παιδιά ήρεμα να ξανασκεφτούν καλύτερα το πρόβλημα.
• Να τονίζουν στα παιδιά ότι ακόμη και οι μεγάλοι μαθηματικοί έκαναν λάθη, αλλά από αυτά τα λάθη μάθαιναν και γίνονταν καλύτεροι.
• Να επιβραβεύουν κάθε προσπάθεια ακόμη και όταν δεν είναι επιτυχημένη και να χρησιμοποιούν τεχνικές ώστε τα παιδιά να έχουν ενδιαφέρον για το μάθημα και να συνεχίζουν τις προσπάθειες.
• Να δίνουν στους μαθητές αρχικά εύκολες ασκήσεις ώστε να τους τονώνουν την αυτοπεποίθηση.
• Να τους δίνουν χρόνο για να κάνουν τις εργασίες και να μην τα πιέζουν.
• Να δημιουργούν ομάδες μαθητών που θα εργάζονται πάνω σε μαθηματικά προβλήματα.
• Να χρησιμοποιούν εκπαιδευτικό υλικό για τη μετάβαση από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο.
• Να ενθαρρύνουν τους μαθητές ώστε να προσεγγίζουν το πρόβλημα με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους.
• Να ωθούν τα παιδιά που έχουν δυσκολία να ξαναδιατυπώνουν ένα πρόβλημα με τα δικά τους λόγια, προκειμένου να εντοπιστούν πιθανές παρανοήσεις στα προβλήματα.
• Να χρησιμοποιούν «μαθηματικά παιχνίδια» ώστε να κάνουν το μάθημα ευχάριστο και ελκυστικό, κυρίως για τα παιδιά του Δημοτικού.

ΑΠΟ ΤΟ ΕΘΝΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ

Πιο κάτω δίνονται κάποιες νέες μεθόδοι πιο διαδραστικές από αυτές που μας μάθαιναν εμάς όταν ήμασταν σχολείο για καλύτερη εμπέδωση της προπαόδειας των πολλαπλασιασμών. Είναι όμως αρκετά ενδιαφέρουσες

ΚΙΝΕΖΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

 ΠΡΟΠΑΙΔΕΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΙ ΤΟΥ 5 ΜΕ ΤΑ ΧΕΡΙΑ 

Xρήσιμες πληροφορίες και συμβουλές σχετικά με τις διαδικασίες κατανομής των Θέσεων στα Δημόσια Πανεπιστήμια Κύπρου

 

Με αφορμή την πρόσφατη ανακοίνωση των αποτελεσμάτων των Παγκυπρίων Εξετάσεων 2016 από το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού της Κύπρου, είναι απαραίτητο, να γνωρίζετε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες και συμβουλές σχετικά με τις διαδικασίες κατανομής των Θέσεων στα Δημόσια Πανεπιστήμια Κύπρου. Η διαδικασία κατανομής θέσεων διαιρείται σε τρεις φάσεις, την Α’ , Β’, και Γ’ κατανομή. Κάθε κατανομή θέσεων ξεχωριστά, συνιστά τα αποτελέσματα σχετικά με τις θέσεις που εξασφάλισαν οι υποψήφιοι. Η Α’ κατανομή θέσεων γίνεται με βάση τα πρώτα αποτελέσματα και όσοι φοιτητές εξασφαλίσουν τη θέση που επιθυμούσαν δεν πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή στην Β’ κατανομή. Μετέπειτα ακολουθεί η διαδικασία της Β’ κατανομής όπου όσοι υποψήφιοι θα συμμετάσχουν, θα έχουν την ευκαιρία να διεκδικήσουν μια ανώτερη προτίμηση στη λίστα επιλογών τους (που είχαν ήδη συμπληρώσει το Μάρτιο), και καταληκτικά διεκπαιρεώνεται η Γ’ κατανομή ανάλογα με τις ελεύθερες θέσεις που απέμειναν κατά την εγγραφή φοιτητών στα δημόσια Πανεπιστήμια Κύπρου.

Α’ Κατανομή

Οι φοιτητές οι οποίοι θα εξασφαλίσουν τη θέση που επιθυμούν κατά την Α’ κατανομή και πρόκειται να φοιτήσουν το Σεπτέμβριο του 2016, για να «κρατήσουν» τις θέσεις τους θα πρέπει οπωσδήποτε να συμπληρώσουν ένα ειδικό έντυπο εγγραφής, να συγκεντρώσουν τα απαραίτητα έγγραφα και να τα υποβάλουν στο πανεπιστήμιο, την ημερομηνία όπου αναμένεται να ανακοινωθεί από την Φοιτητική Μέριμνα. Η ίδια διαδικασία εγγραφής ισχύει και για τους φοιτητές που θα εξασφαλίσουν τη θέση που επιθυμούν κατά τη φάση της Β’ κατανομής.

Όσον αφορά τους νεοσύλλεκτους στρατιώτες μαζί με το ειδικό έντυπο εγγραφής, θα πρέπει ταυτόχρονα να δηλώσουν το έτος και το εξάμηνο επίσημης έναρξης των σπουδών τους και εγγραφής τους στα μαθήματα.

Β’ Κατανομή

Στη Β’ κατανομή μπορούν να συμμετέχουν όσοι παρακάθισαν τις Παγκύπριες Εξετάσεις 2016 και θα ξεκινήσουν τις σπουδές τους τον Σεπτέμβριο, συνεπώς σε αυτούς συμπεριλαμβάνονται και οι άρρενες οι οποίοι έχουν ολοκληρώσει  την στρατιωτική τους θητεία. Επομένως, οι αρρένες οι οποίοι δεν απολύονται φέτος από την Ε.Φ. δεν μπορούν να συμμετέχουν στη Β’ κατανομή. Επίσης, οι φοιτητές που έχουν ήδη εξασφαλίσει θέση στην Α’ κατανομή και θέλουν να συνεχίσουν στη Β’ κατανομή πρέπει να γνωρίζουν οτι εάν εξασφαλίσουν μια άλλη θέση τότε η προηγούμενη απελευθερώνεται αυτόματα.

Η συμμετοχή στη Β’ κατανομή, προϋποθέτει οτι η σειρά προτεραιότητας των επιλογών των υποψηφίων θα είναι ακριβώς η ίδια με το συμπληρωθέν Μηχανογραφικό Δελτίο Συμμετοχής του Υπουργείου Παιδείας τον περασμένο Μάρτιο. Η αίτηση για τη Β’ κατανομή υποβάλλεται στο Πανεπιστήμιο γύρω στα μέσα Ιουλίου και τα αποτελέσματα πρόκειται να ανακοινωθούν τέλη Ιουλίου. Όλοι οι φοιτητές οπωσδήποτε θα πρέπει να συμπεριλάβουν στις αιτήσεις τους και το έγγραφο που αναφέρει αναλυτικά τις βαθμολογίες τους στις Παγκύπριες Εξετάσεις. Οι άρρενες μαζί με τα παραπάνω, θα πρέπει να καταθέσουν και ένα αντίγραφο του απολυτηρίου τους από την Ε.Φ.

Επίσης, όσοι φοιτητές πρόκειται να εξασφαλίσουν θέση μέσω ειδικών κριτηρίων έχουν το δικαίωμα να συμμετέχουν στη Β΄ κατανομή, όμως σύμφωνα με το νομοθετικό πλαίσιο μόνο τη μία από τις δύο θέσεις μπορούν να κατοχυρώσουν.

Η ίδια νομοθεσία ισχύει και για τους υποψήφιους που ενδιαφέρονται να εξασφαλίσουν θέση στα ΑΑΕΙ και ΤΕΙ της Ελλάδας, έχουν επίσης το δικαίωμα να λάβουν μέρος στη Β΄κατανομή αλλά μόνο μια εκ των δύο θέσεων μπορούν να κατοχυρώσουν. Το νομοθετικό πλαίσιο των Δημόσιων Πανεπιστημίων της Κύπρου απαγορεύει ρητά στους φοιτητές να εγγεγραμμένοι ταυτόχρονα σε δύο εκπαιδευτικά ιδρύματα στην Κύπρο ή στο εξωτερικό.

Σημαντικό είναι να γνωρίζουν οι φοιτητές οτι εάν εξασφαλίσουν τη θέση που επιθυμούν μέσω της Β’ κατανομής, θα πρέπει μετά να δηλώσουν οτι δεν επιθυμούν να συμμετέχουν στη Γ’ κατανομή αλλιώς αυτό θα γίνει αυτόματα.

Γ’ Κατανομή

Η Γ’ κατανομή διεκπεραιώνεται αφότου ολοκληρωθεί η εγγραφή των νεοεισερχόμενων φοιτητών στο Πανεπιστήμιο, είτε προέρχονται από την Α’ είτε από την Β’ κατανομή. Όσοι φοιτητές θα υποβάλουν έντυπο συμμετοχής για τη Β’ κατανομή, δεν χρειάζεται να ξαναυποβάλουν αίτηση για συμμετοχή στη Γ’ κατανομή, καθώς εάν δεν σταματήσουν οι ίδιοι τη διαδικασία η κατανομή θα προχωρήσει αυτόματα. Τα τελικά αποτελέσματα της Γ’ κατανομής θα δημοσιευτούν περίπου στα μέσα Σεπτεμβρίου.

Θέση στην Κύπρο και στην Ελλάδα

Με την ολοκλήρωση των αποτελεσμάτων για τις θέσεις τόσο της Κύπρου όσο και της Ελλάδας, όλοι οι φοιτητές θα πρέπει να γνωρίζουν οτι δεν έχουν το δικαίωμα να κρατήσουν και τις δύο θέσεις βάσει νομοθεσίας. Το πανεπιστήμιο θα κάνει τους ανάλογους ελέγχους στους φοιτητές, και γι’ αυτό θα πρέπει οι ίδιοι να υποβάλουν μια υπεύθυνη γραπτή δήλωση όπου θα αναφέρεται η θέση την οποία επέλεξαν.

Όσον αφορά τους νέους στρατιώτες που θα εξασφαλίσουν μια θέση σπουδών κατά την Α’ κατανομή, μπορούν να την κατοχυρώσουν και ταυτόχρονα να εξασφαλίσουν και μια άλλη θέση σε Πανεπιστήμιο της Ελλάδας. Όμως, λόγω της στρατιωτικής τους θητείας, η διαδικασία επιβεβαίωσης της θέσης θα μεταφερθεί κοντά στη περίοδο απόλυσης τους.