Παρασκευή 1 Δεκεμβρίου 2017
Πώς τα μαθηματικά διαμόρφωσαν τον κόσμο μας
Εκθέματα από το Science Museum της Βρετανίας αναδεικνύουν τον θεμελιώδη ρόλο που έπαιξαν και συνεχίζουν να παίζουν οι μαθηματικοί, τα εργαλεία και οι ιδέες τους στην οικοδόμηση του σύγχρονου κόσμου. Τα αντικείμενα που παρουσιάζονται αποκαλύπτουν πώς τα μαθηματικά συνδέονται με κάθε πτυχή της ζωής μας: από τον πόλεμο και την ειρήνη μέχρι τη ζωή και το θάνατο.
Όπως τότε, που μαθηματικοί και μηχανικοί συνεργάστηκαν πάνω σtην αεροδυναμική και το σχήμα αεροσκαφών για την εξασφάλιση ενός ασφαλούς ταξιδιού.
Αλλά και αργότερα, με αφορμή μια καταστροφική καταιγίδα που έπληξε τη Βόρεια Θάλασσα και κόστισε τη ζωή χιλιάδων ανθρώπων, μαθηματικοί ανά τον κόσμο καταπιάστηκαν με τη μελέτη των ωκεανών, δίνοντας τις βάσεις ώστε να αναπτυχθούν ηλεκτρονικά μοντέλα των θαλασσών.
Το αποτέλεσμα όλων αυτών των μαθηματικών; Το να σωθούν αμέτρητες ζωές.
Όπως συνέβη και με την αποκρυπτογράφηση των ηλεκτρομηχανικών συσκευών Εnigma από τον μαθηματικό Alan Turing, οι οποίες αναπτύχθηκαν ως τα μέσα του εικοστού αιώνα και χρησιμοποιήθηκαν κυρίως από τη ναζιστική Γερμανία κατά τον Β’ Παγκόσμιο Πόλεμο.
Και η λίστα δεν ολοκληρώνεται εδώ.
Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα για να εξηγήσουμε όσα συμβαίνουν γύρω μας και ένα ισχυρό εργαλείο για τη δημιουργία νέων επιτευγμάτων.
Το παρακάτω βίντεο ξεδιπλώνει ιστορίες για το έργο των μαθηματικών με την ευρύτερη έννοια – μέσω των εφαρμογών μαθηματικών τεχνικών στην αρχιτεκτονική, την αστρονομία, τη μηχανική κ.α.
Αυτές οι ιστορίες καλύπτουν 400 χρόνια ανθρώπινης εφευρετικότητας, από την αναγέννηση μέχρι σήμερα.
Πηγή
sciencemuseum.org.uk
Εικόνα: http://qige87.com
Χρησιμοποιούμε πράγματι μόλις το 10% του εγκεφάλου μας;
Αλλά τι ποσοστό από αυτό το τεράστιο διανοητικό δυναμικό μένει αχρησιμοποίητο;
Πολλοί πιστεύουν ότι αξιοποιούμε μόλις το 10% του εγκεφάλου μας. Η νευροεπιστήμη όμως καταρρίπτει αυτόν τον μύθο.
Οι νευρώνες του εγκεφάλου μας έχουν εξελιχθεί έτσι ώστε να χρησιμοποιούν τη μικρότερη ποσότητα ενέργειας, ενώ παράγουν τον μέγιστο αριθμό πληροφοριών που είναι δυνατόν – ένα επίτευγμα που απαιτεί ολόκληρο τον εγκέφαλο.
Όμως, αν ο εγκέφαλός μας χρησιμοποιεί το 100% των δυνατοτήτων του, πώς είμαστε σε θέση να μαθαίνουμε νέα πράγματα;
Τα νέα δεδομένα που λαμβάνουμε από τα ερεθίσματα γύρω μας, καταλαμβάνουν χώρους που ο εγκέφαλός μας χρησιμοποιεί ήδη. Όταν κάνουμε ή μαθαίνουμε νέα πράγματα, αυτό που ουσιαστικά συμβαίνει, είναι ότι εκπαιδεύουμε τον εγκέφαλό μας ώστε να ενεργεί διαφορετικά.
Στην πραγματικότητα, τον αναγκάζουμε να δημιουργεί νέες συνδέσεις μεταξύ των νευρώνων και να «καταστρέφει» όσες δεν χρειαζόμαστε.
Στο βίντεο που ακολουθεί, καταρρίπτεται βήμα-βήμα ο μύθος που δημιουργήθηκε με αφορμή μια φράση του Αμερικανού ψυχολόγου Ουίλιαμ Τζέιμς η οποία υποστήριζε ότι: «Οι περισσότεροι από εμάς δεν αξιοποιούμε τις διανοητικές μας δυνατότητες». Η παρερμήνευση αυτής της φράσης, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι οι επιστήμονες δεν ήταν σε θέση να κατανοήσουν το σκοπό κάποιων περιοχών του εγκεφάλου, οδήγησε στην διαιώνιση αυτού του μύθου.
(Μπορείτε να παρακολουθήσετε το βίντεο με ελληνικούς υπότιτλους.)
Πηγή
Ted-Ed
Η δυσλεξία με μια άλλη ματιά
Η δυσλεξία είναι μια μαθησιακή δυσκολία
που εμφανίζεται κυρίως στην πρώιμη σχολική ηλικία και αφορά το 5-20% των
παιδιών παγκοσμίως. Τα άτομα με δυσλεξία δυσκολεύονται να μάθουν να
συλλαβίζουν, να διαβάζουν ή να γράφουν παρά τα φυσιολογικά επίπεδα
νοημοσύνης.
Συχνά τα γράμματα φαίνεται να κινούνται
και να μπερδεύεται η σειρά με την οποία εμφανίζονται, με αποτέλεσμα
άνθρωποι με δυσλεξία να δυσκολεύονται να διακρίνουν τη ορθή θέση των
γραμμάτων ώστε να διαβάσουν σωστά την κάθε λέξη.
Δύο Γάλλοι επιστήμονες, οι Guy Ropars
και Albert le Floch από το University of Rennes, υποστηρίζουν ότι μπορεί
να έχουν βρει μια πιθανή αιτία της δυσλεξίας, κρυμμένη σε μικροσκοπικά
κύτταρα στο ανθρώπινο μάτι, γεγονός που ίσως την καθιστά θεραπεύσιμη.
Οι επιστήμονες εξέτασαν 30
μη-δυσλεξικούς και 30 ανθρώπους με δυσλεξία και τα αποτελέσματα
της μελέτης τους δημοσιεύθηκαν στην επιθεώρηση Proceedings of the Royal
Society B.
Οι ειδικοί δήλωσαν ότι η έρευνα ήταν
«πολύ συναρπαστική» καθώς ανέδειξε τη σχέση μεταξύ όρασης και δυσλεξίας.
Δήλωσαν ωστόσο, ότι πιθανότατα να μην έχουν όλοι οι δυσλεκτικοί το ίδιο
πρόβλημα.
Όπως οι άνθρωποι διαχωρίζονται κατά βάση
σε δεξιόχειρες και αριστερόχειρες, έτσι συμβαίνει και με τα μάτια.
Έχουμε ένα μάτι που υπερισχύει. Στους ανθρώπους με δυσλεξία οι
κυτταρικοί υποδοχείς του φωτός έχουν πανομοιότυπη διάταξη και στα δύο
μάτια, κάτι που μπορεί να μπερδεύει τον εγκέφαλο δημιουργώντας
κατοπτρικές εικόνες.
Αντίθετα, στους υπόλοιπους ανθρώπους
αυτά τα κύτταρα έχουν ασύμμετρη διάταξη, επιτρέποντας την αντικατάσταση
των σημάτων από τον έναν οφθαλμό με εκείνα από τον άλλο, ώστε να
δημιουργείται μία ενιαία εικόνα στον εγκέφαλο.
«Η έλλειψη ασυμμετρίας μπορεί να είναι η
βιολογική και ανατομική βάση των δυσκολιών ανάγνωσης και ορθογραφίας»,
δήλωσαν οι Ropars και Floch. «Για τους μαθητές με δυσλεξία, τα δύο μάτια
τους είναι ισοδύναμα και ο εγκέφαλός τους στηρίζεται διαδοχικά στις δύο
ελαφρώς διαφορετικές εκδοχές μιας δεδομένης οπτικής σκηνής», πρόσθεσαν.
Στη μελέτη τους, οι επιστήμονες
χρησιμοποίησαν μια λάμπα LED, που αναβόσβηνε τόσο γρήγορα που ήταν
αόρατη στο γυμνό μάτι. Με αυτόν τον τρόπο, κατάφεραν να «ακυρώσουν» τη
μία από τις δύο εικόνες στους εγκεφάλους των συμμετεχόντων που είχαν
δυσλεξία, καθώς εκείνοι διάβαζαν.
Οι συμμετέχοντες στη μελέτη, ονόμασαν
αυτή τη λάμπα «μαγική», δήλωσε ο Ropars. Ωστόσο, απαιτούνται περαιτέρω
δοκιμές για να επιβεβαιωθεί ότι η τεχνική λειτουργεί πραγματικά.
Πηγές
Εικόνα: paidagogiko.gr
Μελετώντας τη μαθηματική σκέψη
Ερευνητές κατέγραψαν τον τρόπο με τον
οποίο αλλάζουν τα επίπεδα δραστηριότητας του εγκεφάλου, κατά την επίλυση
μαθηματικών προβλημάτων και αποφάνθηκαν ότι υπάρχουν τέσσερα
διαφορετικά νευρικά στάδια που εμπλέκονται στην εξεύρεση λύσης.
Για τη μελέτη, συνδυάστηκαν δύο
διαφορετικές τεχνικές απεικόνισης του εγκεφάλου: μία που εξετάζει την
ακριβή λειτουργία των νευρώνων στον εγκέφαλο και μία που επικεντρώνεται
στο πώς τα μοτίβα μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου καθώς οι
συμμετέχοντες κάνουν υπολογισμούς.
Το MVPA τυπικά έχει χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό στιγμιαίων προτύπων ενεργοποίησης. Προσθέτοντας το HSMM, ο Anderson υπέθεσε ότι θα παράσχει πληροφορίες για το πώς αυτά τα μοτίβα μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου.
Αυτή είναι η πρώτη φορά που τα
πνευματικά στάδια της εγκεφαλικής δραστηριότητας χαρτογραφούνται με
τέτοια λεπτομέρεια και τα αποτελέσματα θα μπορούσαν να μας δώσουν μια
καλύτερη κατανόηση του πώς λειτουργεί ο εγκέφαλος -και όχι μόνο όταν
κάνουμε υπολογισμούς.
«Ο τρόπος με τον οποίο οι φοιτητές
επιλύουν προβλήματα κάποιας δυσκολίας ήταν ένα απόλυτο μυστήριο για εμάς
μέχρι να εφαρμόσουμε αυτές τις τεχνικές», δήλωσε ο John
Anderson. «Τώρα, είμαστε σε θέση να πούμε τι σκέφτονται οι μαθητές κάθε
δευτερόλεπτο».
Ο Anderson και η ομάδα του, αναγνώρισαν τέσσερα ξεχωριστά στάδια: την κωδικοποίηση (ανάγνωση και κατανόηση του προβλήματος), τον προγραμματισμό (ανάπτυξη του τρόπου αντιμετώπισης του προβλήματος), την επίλυση (υπολογισμός των πράξεων) και την απάντηση (πληκτρολόγηση της σωστής απάντησης).
Εάν κατανοήσουμε καλύτερα τον τρόπο με
τον οποίο οι μαθητές επιλύουν προβλήματα, λέει ο Anderson, μπορούμε να
βελτιώσουμε και τις τεχνικές διδασκαλίας. Πιστεύει ότι οι ιδέες από αυτή
τη νέα εργασία, μπορούν να εφαρμοστούν στο σχεδιασμό ενός
αποτελεσματικότερου τρόπου διδασκαλίας στην τάξη – ιδιαίτερα με την
δημιουργία μοντέλων που ταιριάζουν με την ενεργοποίηση του εγκεφάλου και
τα πρότυπα σκέψης που χρησιμοποιούνται για την επίλυση τέτοιου είδους
προβλημάτων.
Η τελευταία μελέτη τού Anderson και της
ομάδας του, αποτελεί τη συνέχεια μιας σειράς ερευνών που χρησιμοποιούν
την απεικόνιση του εγκεφάλου για να κατανοήσουν την ακολουθία των
διαδικασιών που αποτελούν τη βάση της σκέψης. Ενώ η έρευνα της
νευροαπεικόνισης έδωσε μια εικόνα για τις διάφορες πτυχές της γνώσης, το
πώς αυτά τα κομμάτια συνδέονται όλα μαζί σε ένα συνεκτικό σύνολο, δεν
είναι πλήρως κατανοητό.
Κατά τη διάρκεια της έρευνας, 80 μαθητές
αντιμετώπιζαν μαθηματικά προβλήματα ενώ η ομάδα εργαζόταν για την
ακριβή χαρτογράφηση κάθε εγκεφάλου και στα τέσσερα διαφορετικά στάδια
επίλυσης.
Παρόλο που τα προβλήματα δεν ήταν τόσο
δύσκολα, οι συμμετέχοντες χρησιμοποιούσαν κάποιες φορές σύμβολα για να
τονίσουν το τμήμα της διαδικασίας στο οποίο βρίσκονται.
Σε άλλες περιπτώσεις, η ερευνητική ομάδα
παρουσίαζε προβλήματα που απαιτούσαν περισσότερο προγραμματισμό,
επιτρέποντάς τους να προσδιορίσουν ξεχωριστά κάθε τμήμα της γνωστικής
διαδικασίας.
Στο παρελθόν, οι τεχνικές
νευροαπεικόνισης μας έδειξαν πολλά για το πώς λειτουργούν διαφορετικές
γνωσιακές διαδικασίες. Ο στόχος της συγκεκριμένης μελέτης ήταν να
τοποθετήσει αυτές τις διαδικασίες σε μια σαφή διάταξη.
Η έρευνα αποτελεί μέρος μιας προσπάθειας για μια «ενιαία θεωρία της γνώσης»,
η οποία είναι ακριβώς αυτό που ακούγεται: η ιδέα ότι όλα τα είδη
νοητικής επεξεργασίας έχουν τις ίδιες βασικές αρχές. Ωστόσο, για να
σημειωθεί περαιτέρω πρόοδος, ο Anderson δήλωσε στον Benedict Carey στο The New York Times, πως ίσως χρειαστεί να αναπτύξουμε έναν καλύτερο εξοπλισμό απεικόνισης.
Προς το παρόν, οι επιστήμονες έχουν μια
αρκετά καλύτερη ιδέα, για το πώς οι εγκέφαλοί μας από την ανάγνωση μιας
άσκησης μαθηματικών, καταλήγουν στη σωστή απάντηση.
Τα αποτελέσματα της έρευνας δημοσιεύθηκαν στην επιθεώρηση Psychological Science.
Πηγές
Το παράδοξο της Αξίας
Η καθημερινότητα μας είναι γεμάτη
επιλογές. Από το τι θα φάμε, τι θα φορέσουμε, τι καφέ θα πιούμε, μέχρι
το ποια διαδρομή θα πάρουμε για πάμε στη δουλειά μας. Παίρνουμε συνεχώς
αποφάσεις σύμφωνα με τις επιλογές μας. Αρκετά συχνά μία επιλογή μας
στηρίζεται στην αξία ενός προϊόντος και φυσικά στο πόσο θέλουμε να το
αγοράσουμε και να πληρώσουμε για αυτό. Σαν καταναλωτές φτάνουμε σε
τέτοιες ανταλλαγές σύμφωνα με την αξία των πραγμάτων συνέχεια.
Σε αυτό το άρθρο της,
η Akshita Agarwal μας αναλύει πως ο ορισμός της αξίας είναι
διαφορετικός για κάθε καταναλωτή. Και εδώ μπορούμε να δούμε πιο
παραστατικά τι ισχύει:
Το παράδοξο της αξίας ή το παράδοξο του
διαμαντιού-νερού αποτελεί την αντίθεση που το νερό παρότι πιο χρήσιμο
για λόγους επιβίωσης, απ’ ότι τα διαμάντια, αυτά κατέχουν μεγαλύτερη
τιμή στην αγορά. Αν και ο Adam Smith
θεωρείται ο πρώτος που παρουσίασε το παράδοξο, αν και είχαν προσπαθήσει
να εκφράσουν πολύ νωρίτερα ο Πλάτων, ο Nicolaus Copernicus, ο John
Locke, ο John Law και άλλοι.
Η περιγραφή του παραδόξου από τον πρωτοπόρο φιλόσοφο και οικονομολόγο Adam Smith έγινε στην διατριβή An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations (1776), Εκεί γράφει χαρακτηριστικά:
“Ο όρος ΑΞΊΑ, είναι κάτι που πρέπει να
παρατηρηθεί, έχει δύο διαφορετικές σημασίες, και μερικές φορές εκφράζει
την χρηστικότητα ενός αντικειμένου, και μερικές φορές την αγοραστική
δύναμη που δίνει αυτό το αντικείμενο για την απόκτηση άλλων αγαθών. Η
μία μπορεί να ονομαστεί χρηστική αξία και η άλλη ανταλλακτική αξία.
Τα αντικείμενα με την μεγαλύτερη χρηστική αξία πολύ συχνά έχουν και
μικρή έως μηδενική ανταλλακτική. Σε αντίθεση, τα πράγματα με μεγάλη
ανταλλακτική αξία πολύ συχνά έχουν πολύ χαμηλή ή μηδενική χρηστική.
Τίποτα δεν είναι πιο χρήσιμο από το
νερό, αλλά δεν μπορούμε να αγοράσουμε τίποτα με αυτό. Ένα διαμάντι όμως
έχει ελάχιστη χρηστική αξία, αλλά σε πολλές περιπτώσεις τεράστια
ανταλλακτική.”
Αν και ο ίδιος μιλά για το πως η τιμή
ενός προϊόντος βασίζεται και την χρηστική αξία αλλά και στην
ανταλλακτική, δεν το ονομάζει ως παράδοξο της αξίας. Είναι μία ονομασία
που χρησιμοποιείται στην σημερινή εποχή.
Οι περισσότεροι οικονομολόγοι της εποχής
μας προσπαθούν να αντιμετωπίσουν αυτό το παράδοξο της αξίας,
επιχειρώντας να ενοποιήσουν αυτές τις ιδέες με την έννοια της
χρηστικότητας, ή το πόσο πολύ ικανοποιεί τις ανάγκες του ανθρώπου.
Ο φιλόσοφος Jeremy Bentham παρουσίασε πρώτος τον όρο χρηστικότητα – χρησιμότητα στα τέλη του 18ου αιώνα στην Αγγλία, για να περιγράψει την ικανοποίηση που λαμβάνει κάποιος με την κατανάλωση ενός προϊόντος.
Αυτή η έννοια της χρηστικότητας έγινε το θεμέλιο της θεωρίας της χρηστικότητας.
Σύμφωνα με αυτή, όλοι οι άνθρωποι δρουν με τέτοιο τρόπο ώστε να
μεγιστοποιήσουν την ικανοποίηση/χρηστικότητα και έχει ως αποτέλεσμα την
συλλογή μεγαλύτερης αξίας και ευτυχίας.
Το παράδοξο της αξίας λύθηκε 100 χρόνια μετά από το έργο του Smith. Ο W.S. Jevons, οικονομολόγος και φιλόσοφος, παρουσίασε τον όρο της οριακής χρηστικότητας
(η χρηστικότητα που παράγεται από το κάθε επιπλέον αντικείμενο) στην
μελέτη του με τίτλο ‘A General Mathematical Theory of Political Economy’
(Μία γενικευμένη μαθηματική θεωρία της πολιτικής οικονομίας) (1862).
Εξήγησε ότι δεν έχει σημασία η συνολική χρηστικότητα αλλά η πρόσθετη
χρηστικότητα που παράγεται από την κατανάλωση του τελευταίου
αντικειμένου.
Η οριακή χρηστικότητα ενός αντικειμένου
συχνά μειώνεται όσο αυτό καταναλώνεται. Έτσι η απόκτηση μίας ακόμα
ποσότητας νερού θα δώσει λιγότερη οριακή χρηστικότητα απ’ ότι ένα
παραπάνω διαμάντι.
Η φθίνουσα οριακή χρηστικότητα είναι
ένας νόμος των οικονομικών που ορίζει ότι όσο ένας άνθρωπος αυξάνει την
κατανάλωση ενός προϊόντος, ενώ διατηρεί σταθερή την κατανάλωση άλλων,
υπάρχει μια μείωση στην οριακή χρηστικότητα που λαμβάνει το άτομο από
την κατανάλωση κάθε νέας μονάδας του προϊόντος.
Οι οικονομικές θεωρίες που αναπτύξαμε εδώ αποτελούν κομμάτι της Μικροοικονομίας, μιας υποκατηγορίας των Οικονομικών.
Θα υπήρχαν τα μαθηματικά αν δεν υπήρχαν οι άνθρωποι;
Δημιουργήσαμε μαθηματικές
έννοιες που μας βοηθούν να κατανοήσουμε τον κόσμο γύρω μας ή είναι τα
μαθηματικά η μητρική γλώσσα του σύμπαντος;
Ο Jeff Dekofsky εντοπίζει μερικά διάσημα επιχειρήματα σε αυτή την πολυσυζητημένη ερώτηση.
Στο βίντεο που ακολουθεί θα μάθουμε για
την άποψη του Ευκλείδη, ο οποίος υποστήριζε πως η ίδια η φύση είναι η
φυσική έκφραση των μαθηματικών νόμων αλλά και για τον Leopold Kronecker,
καθηγητή μαθηματικών του 19ου αιώνα, ο οποίος συμπύκνωσε τη
γνώμη του στην περίφημη φράση του: «Ο Θεός δημιούργησε τους αριθμούς.
Όλα τα υπόλοιπα είναι ανθρώπινο δημιούργημα» .
Επίσης, θα γνωρίσουμε την άποψη των
μαθηματικών David Hilbert, Henri Poincare και άλλων σημαντικών
επιστημόνων, καθώς επίσης και μερικά παραδείγματα της χρησιμότητας των
μαθηματικών για την περιγραφή φαινομένων στη φύση.
Είναι λοιπόν τα μαθηματικά δημιούργημα του ανθρώπου ή υπήρχαν πάντα;
Η απάντηση ίσως εξαρτάται από την οπτική
γωνία που επιθυμεί κανείς να εξετάσει το ερώτημα. Ίσως πάλι στην
προσπάθεια αναζήτησης της απάντησης, οδηγηθεί σε έναν φαύλο κύκλο.
Σκεφτείτε το εξής: αν υπήρχε ένας αριθμός δέντρων, αλλά δεν υπήρχε κανείς για να τα μετρήσει, θα υπήρχε αυτός ο αριθμός;
TED-ed
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)