ma8imatika4olous: Ιανουαρίου 2018

Τι θα συνέβαινε αν στο σχολείο αντί να λύνουμε ασκήσεις μαθηματικών, μαθαίναμε να λύνουμε προβλήματα της καθημερινότητάς μας μέσω των μαθηματικών;

Λίγο πολύ όλοι το έχουμε αισθανθεί πως υπάρχει ένα μεγάλο χάσμα μεταξύ των μαθηματικών στην εκπαίδευση και των μαθηματικών που χρησιμοποιούμε στον πραγματικό κόσμο: η βασική διαφορά έγκειται στο ότι στον πραγματικό κόσμο χρησιμοποιούμε υπολογιστές για τους υπολογισμούς μας, ενώ στην εκπαίδευση χρησιμοποιούμε μόνο το νου και τα χέρια μας σχεδόν για κάθε πρόβλημα που προσπαθούμε να επιλύσουμε.

Αυτό το ολοένα και αυξανόμενο χάσμα μεταξύ του τρόπου προσέγγισης των μαθηματικών στην εκπαίδευση και την πραγματική ζωή αποτελεί έναν από τους κυριότερους λόγους για τους οποίους τα μαθηματικά αποτελούν το ‘μαύρο πρόβατο’ των σχολικών μας χρόνων.

Φαίνεται σαν να έχουμε μπερδέψει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στο χέρι -κάτι το οποίο ήταν ουσιώδες και πραγματικά ωφέλιμο για προηγούμενους καιρούς– με την ουσία των μαθηματικών: το να λύνουμε προβλήματα .

Στην ουσία τους, τα μαθηματικά αποτελούν το πιο επιτυχημένο σύστημα για την επίλυση προβλημάτων, παγκοσμίως. Το σημαντικό είναι να πάρουμε πραγματικά προβλήματα και να εφαρμόσουμε -ή και να δημιουργήσουμε ακόμη- μαθηματικές μεθόδους για την αντιμετώπισή τους.

Η σημαντικότερη αλλαγή που έχει επιτελεστεί τα τελευταία 50 και πλέον χρόνια όσον αφορά στα μαθηματικά του πραγματικού κόσμου, είναι η αυτοματοποίηση όλων των υπολογισμών. Στις μέρες μας, οι υπολογιστές κάνουν καλύτερους και γρηγορότερους υπολογισμούς σχεδόν από όλους τους ανθρώπους- ακόμη και από τους καλύτερους του είδους.

Σκεφτείτε για παράδειγμα το εξής: με μια απλή φωνητική εντολή σε μια εφαρμογή της android συσκευή σας, μπορείτε να ζητήσετε την απάντηση για την εύρεση λύσης της εξίσωσης: “x στον κύβο συν 2x πλην 1, ίσον με το 0”. Μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, θα λάβετε τις 3 λύσεις της εξίσωσης και πιθανότατα γραφικές παραστάσεις που θα συνοδεύουν τη λύση.

Και εδώ λοιπόν, μπορεί να ακούσει κανείς τη φωνή ενός μαθητή να αναρωτιέται: “Μα γιατί να το λύσω με το χέρι, αφού μπορώ να βάλω την εξίσωση στην εφαρμογή του κινητού μου και να πάρω την απάντηση έτοιμη;”

Ας το παραδεχθούμε! Εν έτη 2018, η απορία του είναι κάτι παραπάνω από εύλογη. Είμαστε σε θέση όμως να την απαντήσουμε;

Θα κάνουμε μια προσπάθεια.

Μια τυπική απάντηση στην απορία του φανταστικού – ή και όχι τόσο- μαθητή μας, θα ήταν ότι: “Για να φτάσουμε στο αποτέλεσμα μια εφαρμογή να επιλύει ολοένα και πιο σύνθετα προβλήματα, χρειάστηκε κάποιοι να πραγματοποιήσουν υπολογισμούς στο χέρι. Επομένως όλοι θα πρέπει να περάσουμε από αυτή την διαδικασία για να αναπτύξουμε τον τρόπο σκέψης μας.”

Αναπτύσσουμε όμως πράγματι τον μαθηματικό τρόπο σκέψης εκτελώντας απλά αλγοριθμικές πράξεις για την επίλυση ασκήσεων;

Η απάντηση είναι μάλλον αρνητική, καθώς όλοι στο σχολείο μαθαίνουμε πώς να εκτελούμε αυτούς τους αλγόριθμους, αντί του να μαθαίνουμε πώς να διατυπώνουμε τα προβλήματα σε μαθηματική μορφή και στη συνέχεια να τα επιλύουμε με την βοήθεια των υπολογιστών.

Και αν μαθαίνουμε να λύνουμε κάποια προβλήματα αυτά είναι τετριμμένα. Τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου συχνά παρουσιάζονται ως εξαιρετικά δύσκολα και πολύπλοκα, χωρίς ωστόσο να αναφέρεται όμως ότι μπορούν να τιθασευτούν με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Η αυτοματοποίηση των υπολογισμών είναι ένας από τους κυριότερους λόγους που καθιστούν τα μαθηματικά εφαρμόσιμα σε τόσο μεγάλο εύρος προβλημάτων. Από τα κινητά τηλέφωνα μέχρι την ιατρική και την οικονομία, είναι τόσο εύχρηστα όσο και χρήσιμα, λόγω του ότι καταφέραμε να αυτοματοποιήσουμε περίπλοκους υπολογισμούς.

Ακόμη και όταν το σημερινό σύστημα εκπαίδευσης προσπαθεί να δώσει ένα πλαίσιο για τα μαθηματικά, τα προβλήματα δημιουργούνται έτσι ώστε να μπορούν να επιλυθούν με αδύναμες τεχνικές υπολογισμού στο χέρι, με αποτέλεσμα όλοι να μπορούν να δουν ότι… δεν είναι χρήσιμα στην πραγματική ζωή!

Στην πραγματική ζωή το πρόβλημα σε καθοδηγεί και αν ο υπολογισμός είναι περίπλοκος, ο υπολογιστής πιθανότατα θα τον αντιμετωπίσει. Αφαιρώντας τον υπολογιστή από την εκπαίδευση των μαθηματικών, καταργούμε το μεγαλύτερο μέρος της εφαρμογής των μαθηματικών στον πραγματικό κόσμο.

Αναφερόμαστε στη χρήση του υπολογιστή για τους υπολογισμούς και όχι στην αντικατάσταση του καθηγητή ή την αλλαγή της παράδοσης του υπάρχοντος περιεχομένου. Φυσικά, θα πρέπει να εκσυγχρονίσουμε τον τρόπο παράδοσης του μαθήματος, όμως όσο καλά κι αν παραδίδουμε λανθασμένα θέματα, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο.

Κανείς δεν ισχυρίζεται σοβαρά ότι οι υπολογιστές έχουν κάνει τα μαθηματικά, με την χρήση των οποίων αντιμετωπίζουμε προβλήματα του πραγματικού κόσμου, εννοιολογικά λιγότερο απαιτητικά. Το αντίθετο. Δεν είναι ότι η εκπαίδευση στον τομέα των μαθηματικών χειροτέρεψε. Είναι ότι η ζωή έχει γίνει αρκετά πιο περίπλοκη και έτσι οδηγούμαστε στην ανάπτυξη νέων μαθηματικών μοντέλων.

Αντί λοιπόν, να μαθαίνουμε κλειστές διαδικασίες, ας βοηθήσουμε τους μαθητές να εφαρμόσουν τη δύναμη του λογισμού, με τη σχεδίαση συστημάτων κυκλοφορίας ή με την αποκωδικοποίηση μυστικών κωδικών. Όλα είναι δυνατά και μέθοδοι όπως αυτές εκπαιδεύουν τόσο τη δημιουργικότητα όσο και την εννοιολογική κατανόηση των μαθηματικών, έχοντας όμως και πρακτικά αποτελέσματα. Χρειάζονται όμως υπολογιστές για να κάνουν το μεγαλύτερο μέρος των υπολογισμών- ακριβώς όπως κάνουμε και στον πραγματικό κόσμο.

Είναι αναγκαίο να χρησιμοποιηθούν υπολογιστικά μέσα στα σχολεία και να εκπαιδευτούν οι μαθητές στην ανάπτυξη κώδικα. Έτσι θα είναι σε θέση να αναπτύξουν την μαθηματική σκέψη που χρειάζεται ώστε να αναπτύξουν και να καταλάβουν πώς δημιουργούνται οι εφαρμογές που επιλύουν προβλήματα. Αλλά θα έχουν επίσης την ευκαιρία να εφαρμόσουν τα μαθηματικά εργαλεία που διδάσκονται σε προβλήματα του πραγματικού κόσμου.

Ο προγραμματισμός είναι ο σύγχρονος τρόπος έκφρασης των μαθηματικών, αλλά και η γλώσσα των υπολογιστών.

Η Εσθονία αποτελεί παράδειγμα. Το σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών που χρησιμοποιεί αξιοποιεί υπολογιστικά συστήματα. Οι μαθητές εργάζονται σε προβλήματα όπως “Είμαι φυσιολογικός;”, ”Τα κορίτσια είναι καλύτερα στα μαθηματικά;” “Θα βρέξει αύριο;” και “Πρέπει να ασφαλίσω το laptop μου;” χρησιμοποιώντας πραγματικά, μεγάλα σύνολα δεδομένων με όλες τις δυσκολίες που συνεπάγεται αυτό. Κάνουν κωδικοποίηση και ορισμένα από τα μαθηματικά που χειρίζονται, παραδοσιακά, διδάσκονται μόνο στο πανεπιστήμιο.

Ο Conrad Wolfram φυσικός, μαθηματικός, τεχνολόγος και ιδρυτής του computerbasedmath.org πιστεύει ότι μέρος των μαθηματικών που διδάσκουμε – υπολογισμός με το χέρι – δεν είναι μόνο κουραστικό, κυρίως δεν σχετίζεται με τα πραγματικά μαθηματικά και τον πραγματικό κόσμο. Παρουσιάζει τη ριζοσπαστική ιδέα του: διδασκαλία μαθηματικών μαθημάτων μέσω προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών, στο παρακάτω βίντεο:

<head>

<script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>
<script>
     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({
          google_ad_client: "ca-pub-8046500201592126",
          enable_page_level_ads: true
     });
</script>

</head>

<script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>
<script>
     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({
          google_ad_client: "ca-pub-8046500201592126",
          enable_page_level_ads: true
     });
</script>

<script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>
<script>
     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({
          google_ad_client: "ca-pub-8046500201592126",
          enable_page_level_ads: true
     });
</script>

Πηγές

Ένας υπερυπολογιστής πραγματοποίησε τη μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικών σε μόλις 2 ημέρες. Το μέγεθος του αρχείου που περιέχει την υποβοηθούμενη από υπολογιστή απόδειξη αγγίζει τα 200 terabytes – δηλαδή περίπου όσο χώρο καταλαμβάνουν όλα τα ψηφιοποιημένα κείμενα της τεράστιας Βιβλιοθήκης του Κογκρέσου των ΗΠΑ. Αφορά ένα μαθηματικό πρόβλημα που απασχολεί τους μαθηματικούς δεκαετίες και είναι γνωστό ως το πρόβλημα των «μπουλιανών πυθαγόρειων τριάδων»

Η απόδειξη είναι συμπιεσμένη σε ένα αρχείο 68 gigabytes, που σημαίνει ότι όποιος θέλει μπορεί να την κατεβάσει, να την ανακατασκευάσει και να επαληθεύσει όλες τις πληροφορίες που είναι ενσωματωμένες σε αυτό.

Το αρχείο των 200 terabytes ξεπερνά το προηγούμενο καταγεγραμμένο ρεκόρ αρχείου για την μεγαλύτερη υποβοηθούμενη απόδειξη από υπολογιστή, το οποίο είχε μέγεθος μόλις 13 gigabytes.

Σύμφωνα με τον Ronald Graham, μαθηματικό του San Diego από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια και προηγούμενο κάτοχο ρεκόρ της τότε μεγαλύτερης απόδειξης, οι υπολογιστές βοηθούν στη δημιουργία αποδείξεων για συνδυαστικά προβλήματα.

Το πρόβλημα πίσω από την απόδειξη

Το πρόβλημα που παρέμενε μέχρι πρόσφατα άλυτο, είχε τεθεί το 1980 από τους Erdös-Graham και η απάντηση δόθηκε από τους Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, και Victor W. Marek. [Solving and Verifying the boolean Pythagorean]

Η διατύπωση του προβλήματος: Μπορούμε να διαχωρίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={1, 2, 3, 4, …} σε δυο σύνολα, τέτοια ώστε κανένα από τα δύο να μην περιέχει πυθαγόρειες τριάδες (δηλαδή τριάδες αριθμών a, b, c που ικανοποιούν τη σχέση a² + b²= c²);

Ή να το πούμε διαφορετικά: Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων a, b, c (a² + b² = c²) με το ίδιο χρώμα;

Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριάδα 3, 4 και 5, αν τα 3 και 5 είναι χρώματος μπλε, τότε το 4 θα πρέπει να είναι κόκκινο.

Αν και το πρόβλημα επέτρεπε πολλούς δυνατούς τρόπους για να χρωματιστούν οι ακέραιοι αριθμοί με διαφορετικούς συνδυασμούς, οι επιστήμονες εκμεταλλεύτηκαν τεχνικές και συμμετρίες από τη θεωρία αριθμών για να μειώσουν τον αριθμό των ελέγχων που έπρεπε να κάνει ο υπολογιστής. Αυτό το βήμα ελαχιστοποίησε τον αριθμό των πράξεων που εκτελούνται από τον υπολογιστή κατά σχεδόν 1 τρισεκατομμύριο.

Δύο μέρες αργότερα, ο υπερυπολογιστής Stampede των 800 επεξεργαστών του Πανεπιστημίου του Τέξας παρήγαγε το αρχείο των 200 terabytes. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήθηκε ξεχωριστό πρόγραμμα υπολογιστή για την επαλήθευση της παραγόμενης απόδειξης.

Παρά το γεγονός ότι έσπασε το περίφημο πρόβλημα των «μπουλιανών πυθαγόρειων τριάδων», το αρχείο που καταγράφηκε εξακολουθεί να μην παρέχει απαντήσεις σχετικά με το γιατί είναι εφικτό το σχέδιο χρωματισμού.

Η απόδειξη αποκάλυψε ότι ναι, είναι δυνατό να χρωματιστούν οι ακέραιοι αριθμοί με πολλούς τρόπους. Ωστόσο, υπάρχει ένα όριο, αυτό των 7.824 ακεραίων. Μετά από αυτό το σημείο, δεν είναι δυνατό. Αυτό δημιουργεί περισσότερες ερωτήσεις: Γιατί υπάρχει σημείο αποκοπής στα 7.825; Γιατί είναι δυνατή η πρώτη επέκταση;

Τα ευρήματα της ομάδας παρουσιάζονται στην ηλεκτρονική βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου Cornell.

Πηγές

Πέμπτη 25 Ιανουαρίου 2018

Μαθηματικά: από μέρος του προβλήματος, μέρος της λύσης

Η μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικών όλων των εποχών έχει μέγεθος 200 Terabytes